Schreiben des Klein-Gordon in Bezug auf die Gamma-Matrizen

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Schreiben des Klein-Gordon in Bezug auf die Gamma-Matrizen

Physik
Dirac-Gleichung
Teilchenphysik
Quantenmechanik
Klein-Gordon-Gleichung

letzter Revolverheld

Hallo, ich habe eine kurze Frage zu den Dirac-Gammamatrizen oder der Dirac-Gleichung und der Klein-Gordon-Gleichung. Erinnern Sie sich, dass das Klein-Gordon durch das Folgende gegeben ist

(◻ + M^{2}) Ψ = 0

$\begin{equation} \left(\Box + m^2\right)\Psi=0 \end{equation}$ Wo

◻

$\Box$ ist der D'Alembert-Operator. Dann haben wir die Dirac-Gleichung in Bezug auf die Gamma-Matrizen (oder kovariante Form) geschrieben

(ich γ^{μ} \partial_{μ} - M) Ψ = 0

$\begin{equation} \left( i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m\right)\Psi=0 \end{equation}$ Ich habe beide Seiten der Dirac-Gleichung mit multipliziert

β

$\beta$ Matrix, so dass ich möglicherweise die Gamma-Matrizen reduzieren kann,

γ^{μ}

$\gamma^{\mu}$ , zu den Dirac-Matrizen,

α^{i}

$\alpha^{i}$ , danach ich

square

$\textbf{square}$ beiden Seiten der Gleichung, von denen wir die Klein-Gordon-Gleichung haben, nachdem wir den Alpha- und Beta-Matrizen bestimmte Einschränkungen auferlegt haben, dh

(- ich a_{X} \frac{\partial}{\partial X} - ich a_{j} \frac{\partial}{\partial j} - ich a_{z} \frac{\partial}{\partial z} + β M) (- ich a_{X} \frac{\partial}{\partial X} - ich a_{j} \frac{\partial}{\partial j} - ich a_{z} \frac{\partial}{\partial z} + β M) ψ = - \frac{\partial^{2} ψ}{\partial T^{2}}

$\begin{equation}\left(-i \alpha_{x} \frac{\partial}{\partial x}-i \alpha_{y} \frac{\partial}{\partial y}-i \alpha_{z} \frac{\partial}{\partial z}+\beta m\right)\left(-i \alpha_{x} \frac{\partial}{\partial x}-i \alpha_{y} \frac{\partial}{\partial y}-i \alpha_{z} \frac{\partial}{\partial z}+\beta m\right) \psi=-\frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}}\end{equation}$

\begin{aligned} ⟹ - \frac{\partial^{2} ψ}{\partial T^{2}} = & - a_{X}^{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial X^{2}} - a_{j}^{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial j^{2}} - a_{z}^{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial z^{2}} + β^{2} M^{2} ψ \\ - (a_{X} a_{j} + a_{j} a_{X}) \frac{\partial^{2} ψ}{\partial X \partial j} - (a_{j} a_{z} + a_{z} a_{j}) \frac{\partial^{2} ψ}{\partial j \partial z} - (a_{z} a_{X} + a_{X} a_{z}) \frac{\partial^{2} ψ}{\partial z \partial X} \\ - (a_{X} β + β a_{X}) M \frac{\partial ψ}{\partial X} - (a_{j} β + β a_{j}) M \frac{\partial ψ}{\partial j} - (a_{z} β + β a_{z}) M \frac{\partial ψ}{\partial z} \end{aligned}

$\begin{equation}\begin{aligned} \implies -\frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}}=&-\alpha_{x}^{2} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}}-\alpha_{y}^{2} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial y^{2}}-\alpha_{z}^{2} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial z^{2}}+\beta^{2} m^{2} \psi \\ &-\left(\alpha_{x} \alpha_{y}+\alpha_{y} \alpha_{x}\right) \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x \partial y}-\left(\alpha_{y} \alpha_{z}+\alpha_{z} \alpha_{y}\right) \frac{\partial^{2} \psi}{\partial y \partial z}-\left(\alpha_{z} \alpha_{x}+\alpha_{x} \alpha_{z}\right) \frac{\partial^{2} \psi}{\partial z \partial x} \\ &-\left(\alpha_{x} \beta+\beta \alpha_{x}\right) m \frac{\partial \psi}{\partial x}-\left(\alpha_{y} \beta+\beta \alpha_{y}\right) m \frac{\partial \psi}{\partial y}-\left(\alpha_{z} \beta+\beta \alpha_{z}\right) m \frac{\partial \psi}{\partial z} \end{aligned}\end{equation}$ so dass,

\begin{aligned} a_{X}^{2} = a_{j}^{2} = a_{z}^{2} = β^{2} & = 1 \\ a_{J} β + β a_{J} & = 0 \\ a_{J} a_{k} + a_{k} a_{J} & = 0 (J \neq k) \end{aligned}

$\begin{equation}\begin{aligned} \alpha_{x}^{2}=\alpha_{y}^{2}=\alpha_{z}^{2}=\beta^{2} &=1 \\ \alpha_{j} \beta+\beta \alpha_{j} &=0 \\ \alpha_{j} \alpha_{k}+\alpha_{k} \alpha_{j} &=0 \quad(j \neq k) \end{aligned}\end{equation}$

Nun, das funktioniert gut für die normale Dirac-Gleichung, aber was ist mit der Dirac-Gleichung, die zusätzliche Terme haben kann, dh die Dirac-Gleichung in der gekrümmten Raumzeit, in der wir die Spin-Verbindung haben, sowie andere Terme, dh die Levi-Civita Begriff. Dies erweist sich als äußerst ineffizient, da beide Seiten mit multipliziert werden $\beta$ Matrix, dann ergibt das Quadrieren beider Seiten eine enorme Menge an Termen. Gibt es eine andere Möglichkeit, wie wir vielleicht den Klein-Gordon unter Verwendung von Gamma-Matrizen ableiten können, oder vielleicht den Klein-Gordon aus dem Dirac ableiten? Ich danke Ihnen für Ihre Hilfe

meine2cts

Freie Dirac- und konjugierte Dirac-Lösungen sind gleichzeitig KG-Lösungen. Dies sollte nicht mehr gelten, wenn es eine gravitative Wechselwirkung mit dem Spin gibt.

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Freie Dirac- und konjugierte Dirac-Lösungen sind gleichzeitig KG-Lösungen. Dies sollte nicht mehr gelten, wenn es eine gravitative Wechselwirkung mit dem Spin gibt.

ɪdɪət strəʊlə · Answer 1

Treffen Sie einfach die Dirac-Gleichung mit dem komplexen Konjugierten von $(i\gamma^\mu \partial_\mu-m)$ . So

\begin{aligned} (ich γ^{μ} \partial_{μ} - M) Ψ & = 0 \\ - (ich γ^{v} \partial_{v} + M) (ich γ^{μ} \partial_{μ} - M) Ψ & = 0 \\ (γ^{μ} γ^{v} \partial_{μ} \partial_{v} + M^{2}) Ψ & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} (i\gamma^\mu \partial_\mu-m)\Psi &= 0 \\ -(i\gamma^\nu \partial_\nu+m)(i\gamma^\mu \partial_\mu-m)\Psi &= 0 \\ (\gamma^\mu\gamma^\nu\partial_\mu\partial_\nu+m^2)\Psi &= 0 \end{align}$ Da beide

μ

$\mu$ Und

ν

$\nu$ Da es sich um Dummy-Indizes handelt, schadet es nicht, einen dummen Zug zu machen und sie umzubenennen, damit Sie sie erhalten

\begin{aligned} (\frac{1}{2} (γ^{μ} γ^{v} \partial_{μ} \partial_{v} + γ^{v} γ^{μ} \partial_{v} \partial_{μ}) + M^{2}) Ψ & = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \left(\frac{1}{2}\big(\gamma^\mu\gamma^\nu\partial_\mu\partial_\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu\partial_\nu\partial_\mu\big)+m^2\right)\Psi &= 0. \end{align}$ Aber nun beobachte das

\partial_{μ} \partial_{ν} = \partial_{ν} \partial_{μ}

$\partial_\mu\partial_\nu = \partial_\nu\partial_\mu$ So

\begin{aligned} (\frac{1}{2} (γ^{μ} γ^{v} + γ^{v} γ^{μ}) \partial_{μ} \partial_{v} + M^{2}) Ψ & = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \left(\frac{1}{2}\big(\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu\big)\partial_\mu\partial_\nu+m^2\right)\Psi &= 0. \end{align}$ Schließlich gehorchen die Gammamatrizen der Clifford-Algebra

{γ^{μ}, γ^{ν}} = 2 η^{μ ν}

$\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}=2\eta^{\mu\nu}$ , also wird die letzte Gleichung einfach

\begin{aligned} (\frac{1}{2} 2 η^{μ v} \partial_{μ} \partial_{v} + M^{2}) Ψ & = 0 \\ (◻ + M^{2}) Ψ & = 0, \end{aligned}

$\begin{align} \left(\frac{1}{2}2\;\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu+m^2\right)\Psi &= 0 \\ \left(\Box+m^2\right)\Psi &= 0, \end{align}$ das ist der Klein-Gordon, den Sie wollten.

Vielen Dank das ist großartig! Aber wie ich oben erwähnt habe, funktioniert dies für den freien Dirac hervorragend, aber wenn man Krümmung anwendet, glaube ich nicht, dass die Krümmung analoge Eigenschaften zu den Gamma-Matrizen und ihrer Clifford-Algebra aufweist. Probieren werde ich es trotzdem. Nochmals vielen Dank für Ihren Vorschlag!
Ihre eigentliche Frage war: "Gibt es eine andere Möglichkeit, wie wir vielleicht den Klein-Gordon mit Gamma-Matrizen ableiten können, oder vielleicht den Klein-Gordon aus dem Dirac ableiten?". Und das habe ich getan. Für den gekrümmten Raum glaube ich, dass die Kombination dieser Ableitung mit dem Dirac-Operator für gekrümmte Räume von @mike stone Sie zum gekrümmten Raum Klein-Gordon bringen sollte
Ich verstehe. Wenn ich dann den von Mike Stone angegebenen Operator in die oben angegebene Ableitung einsetze, sollte ich zu dem gelangen, wonach ich suche? Oder hat der Betreiber steil welche Mike Stones schon bereitgestellt was ich suche?

Mike Stein · Answer 2

Für den gekrümmten Raum Dirac-Operator

D = γ^{A} e_{A}^{μ} (\partial_{μ} + \frac{1}{2} σ^{B C} ω_{B C μ}) = γ^{A} D_{A} \equiv γ^{μ} D_{μ} .

${D}= \gamma^a e^\mu_a \left(\partial_\mu + \textstyle{\frac 12} \sigma^{bc}\,\omega_{bc\mu}\right)= \gamma^a D_a\equiv \gamma^\mu D_\mu.$ wir haben die einfach aussehende Lichnerowicz-Formel

D^{2} = \nabla^{2} - \frac{1}{4} R,

$D^2 = \nabla^2 - \frac 14 R,$ Wo

\nabla^{2} \equiv \frac{1}{\sqrt{G}} D_{μ} \sqrt{G} G^{μ v} D_{v}

$\nabla^2\equiv\frac 1{\sqrt{g}} D_\mu \sqrt{g}g^{\mu\nu} D_\nu$ ist der "raue" oder Spin-Verbindungs-Laplace-Operator auf Spinoren und

R

$R$ ist die skalare Krümmung. Obwohl sie nach Andre Lichnerowicz benannt ist, der sie 1963 veröffentlichte (A. Lichnerowicz, Spineurs harmonique, Compt. Rend. Acad. Sci. Paris, Ser. A 257, (1963) 7-9), erscheint die Formel als allerletzte Gleichung in eine etwa 30 Jahre früher verfasste Arbeit von Erwin Schroedinger (E. Schroedinger, Diracsches Elektron im Schwerefeld I , Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., Phys. Math. Kl. {11}, (1932) 105-128.). Wie Sie sagen, gibt es eine Menge Begriffe und ziemlich viel Manipulation (23 Seiten in Schroedingers Artikel), um die Schroedinger-Lichnerowicz-Formel zu erhalten!

(Eigentlich ist es nicht so schlimm. Sie können in ein paar Seiten mit den Bianchi-Identitäten arbeiten.)

Könnten Sie bestätigen, ob der Laplace-Operator, den Sie oben beschrieben haben, dh der "grobe" oder Spin-Verbindungs-Laplace, der Laplace-Beltrami-Operator ist, der auf eine Skalarfunktion angewendet wird? $f$ , dh $\Delta f=\frac{1}{\sqrt{|g|}} \partial_{i}\left(\sqrt{|g|} g^{i j} \partial_{j} f\right)$
Nein. Es kann nicht der skalare Laplace sein. Der $D_\mu$ enthalten die Spin-Verbindung, wie sie es sein müssen, wenn der Laplace-Operator bei Änderungen von Koordinaten oder Frames kovariant sein soll. Was für eine Formung $D^2$ tut ist, loszuwerden $\gamma^\mu$ das vormultiplizieren $D$ .
Ich verstehe. Also dann die $D_{\mu}$ im Laplace-Operator oben ist der Operator, den Sie oben beim Schreiben definiert haben, $\gamma^{\mu}D_{\mu}$ was beinhaltet die Spin-Verbindung? Oder ist es einfach eine partielle Ableitung oder kovariante Ableitung? Nach dem, was Sie gesagt haben, glaube ich, dass es sich um den oben definierten Operator handelt, der die Spin-Verbindung betrifft, aber ich möchte nur sichergehen.
Daher wäre es nur der Abschnitt innerhalb der Klammern, da wir die Tetrade verwendet haben, um die Indizes der Gamma-Matrix zu ändern, oder irre ich mich?
Du hast Recht: $D_\mu=\partial_\mu+\frac 12 \sigma^{bc}\omega_{bc\mu}$

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