Warum würde Klein-Gordon das Skalarfeld Spin-0 beschreiben, während Dirac Spin-1/2 beschreibt?

Question

Warum würde Klein-Gordon das Skalarfeld Spin-0 beschreiben, während Dirac Spin-1/2 beschreibt?

Physik
Quanten-Spin
Dirac-Gleichung
Quantenmechanik
Quantenfeldtheorie
Klein-Gordon-Gleichung

Krieg

Die Ableitung sowohl der Klein-Gordon-Gleichung als auch der Dirac-Gleichung beruht auf der Notwendigkeit der Quantenmechanik (oder genauer gesagt der Quantenfeldtheorie), sich an die spezielle Relativitätstheorie zu halten. Abgesehen davon, dass Klein-Gordon ein Problem mit negativer Wahrscheinlichkeit hat, sehe ich keinen Unterschied zwischen diesen beiden. Was bringt Klein-Gordon dazu, Skalarfelder zu beschreiben, während Dirac Spin-1/2-Felder beschreibt? Bearbeiten: ups. Klein-Gordon hat kein Nichtlokalitätsproblem. Entschuldigung, dass ich falsch geschrieben habe.

Edit: Kann mir jemand im Detail sagen warum $\psi$ Feld ist Skalar in Klein-Gordon während $\psi$ in Dirac ist Spin-1/2? Ich meine, wenn die Lösung für Dirac die Lösung für Klein-Gordon ist, wie macht das Sinn?

Benutzer26288

Es hat immer noch nicht beantwortet, warum die Wahrscheinlichkeit erhalten bleibt. Da die Lösung der Dirac-Gleichung auch die Klein-Gordon-Gleichung löst, gibt es das Problem der Nichterhaltung der Wahrscheinlichkeit auch bei der Dirac-Gleichung, richtig?

Nikos M.

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Antworten (5)

Warum würde Klein-Gordon das Skalarfeld Spin-0 beschreiben, während Dirac Spin-1/2 beschreibt?

Es hat immer noch nicht beantwortet, warum die Wahrscheinlichkeit erhalten bleibt. Da die Lösung der Dirac-Gleichung auch die Klein-Gordon-Gleichung löst, gibt es das Problem der Nichterhaltung der Wahrscheinlichkeit auch bei der Dirac-Gleichung, richtig?

Arnold Neumaier · Answer 1

Spin ist eine Eigenschaft der Darstellung der Rotationsgruppe $SO(3)$ das beschreibt, wie sich ein Feld unter einer Drehung verändert. Dies kann für jede Art von Feld oder Feldgleichung ausgearbeitet werden.

Das Klein-Gordon-Feld ergibt eine Spin-0-Darstellung, während die Dirac-Gleichung zwei Spin-1/2-Darstellungen liefert (die zu einer einzigen Darstellung verschmelzen, wenn man auch diskrete Symmetrien berücksichtigt).

Die Komponenten jedes freien Feldes erfüllen unabhängig von ihrem Spin die Klein-Gordon-Gleichung. Insbesondere löst jede Komponente der Dirac-Gleichungen die Klein-Gordon-Gleichung. Tatsächlich drückt die Klein-Gordon-Gleichung nur die Massenschalenbeschränkung aus und sonst nichts. Spin kommt ins Spiel, wenn man sich ansieht, was mit den Komponenten passiert.

Eine Drehung (und allgemeiner eine Lorentz-Transformation) mischt die Komponenten des Dirac-Felds (oder jedes anderen Felds, das nicht nur aus Spin-0-Feldern besteht), während auf a $k$ -component spin 0 Feld, es wird jede Komponente separat transformieren.

Im Allgemeinen ist eine Lorentz-Transformation gegeben als a $4\times 4$ Matrix $\Lambda$ Änderungen a $k$ -Komponentenfeld $F(x)$ hinein $F_\Lambda(\Lambda x)$ , wo $F_\Lambda=D(\Lambda)F$ mit einer $k\times k$ Matrix $D(\Lambda)$ das kommt auf die Darstellung an. Die Komponenten sind Spin-0-Felder genau dann, wenn $D(\Lambda)$ ist immer die Identität.

hwlin · Answer 2

Lassen Sie uns überprüfen, wie die KG-Gleichung aus dem Dirac wiederhergestellt wird: (in natürlichen Einheiten wo $\hbar=c_0=1)$

(ich γ^{μ} \partial_{μ} - m) Ψ = 0

$(i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\Psi = 0$

(- ich γ^{μ} \partial_{μ} - m) (ich γ^{μ} \partial_{μ} - m) = 0

$(-i \gamma^\mu \partial_\mu - m)(i \gamma^\mu \partial_\mu - m) = 0$

(γ^{v} γ^{μ} \partial_{v} \partial_{μ} + m^{2}) Ψ = 0

$(\gamma^\nu \gamma^\mu \partial_\nu \partial_\mu + m^2) \Psi = 0$

(\partial^{2} + m^{2}) Ψ = 0.

$(\partial^2+m^2)\Psi = 0.$

Damit wir KG zurückgewinnen konnten, mussten wir davon ausgehen $\gamma^\nu \gamma^\mu = \eta^{\mu\nu}$ . Mit anderen Worten, Sie können sich Gammas als das Skalarprodukt von Deltas vorstellen. Um ein mieses Beispiel zu nehmen, es ist, als hätten wir eine Gleichung, die eine Geschwindigkeit „Spinor“ beschreibt und sie dann quadriert, also beschreibt sie jetzt die Geschwindigkeit „Skalar“, die einen Freiheitsgrad weniger hat. Dies erklärt nicht viel mehr, als wie eine Gleichung, die einen Spinor beschreibt, in eine Gleichung reduziert werden kann, die einen Skalar beschreibt.

Der Grund, warum die Dirac-Gleichung Spinoren und keine Skalare erfordert , liegt in der speziellen Relativitätstheorie. Wenn da nicht das lästige Minuszeichen wäre $\eta^{\mu\nu}$ , wäre die Algebra der Gammas viel einfacher und wir bräuchten sie nicht als 4x4-Matrizen. Dann $\Psi$ könnte ein Skalarfeld beschreiben.

Hans de Vries · Answer 3

Hans de Vries

Wenn wir sagen:

" Ein Feld hat eine Spin 0-, Spin 1/2- oder Spin 1-Darstellung "

dann sagen wir tatsächlich etwas darüber aus, wie sich die Feldparameter verändern, wenn wir von einem Bezugsrahmen zum anderen gehen.

spin 0 : Die Werte des Feldes ändern sich nicht, wenn wir von einem Referenzrahmen zum anderen wechseln

Spin 1 : Wir müssen die Lorentz-Transformationsmatrix anwenden $\Lambda$ auf den Feldparametern.

Spin 1/2 : Wir müssen uns bewerben $\Lambda^{1/2}$ auf den Feldparametern.

Bemerkung: Die Verwendung eines Ausdrucks wie $\Lambda^{1/2}$ sollte etwas symbolisch interpretiert werden, da Vektoren und Bispinoren unterschiedliche Objekte sind. Es gibt jedoch einen zusätzlichen Faktor 1/2 im Exponenten von $\Lambda^{1/2}$ Matrix.

Der Spin (verbunden mit Rotation) kommt hier wegen der Transformationsmatrix herein $\Lambda$ handhabt sowohl Boosts als auch Rotationen. Der eigentümliche Faktor 1/2 tritt jedoch auch in der 1-dimensionalen Version der Dirac-Gleichung auf, wo es so etwas wie Spin (oder Rotation) nicht gibt, und die entsprechende 1-Raum- + 1-Zeit-Dimensionsversion von $\Lambda$ beschreibt nur Boosts.

Der tiefere Grund für den Faktor 1/2 ist, dass die Dirac-Gleichung zwei Feldkomponenten in Beziehung setzt $\psi_R$ und $\psi_L$ die im Ruhesystem einander gleich sind. Im 1-dimensionalen Fall sind dies die rechts- und linksbewegten Komponenten. Das Verhältnis der beiden transformiert sich wie folgt

$(\psi_R:\psi_L)\longrightarrow\Lambda~(\psi_R:\psi_L)$

Bei der Normierung der ebenen Welleneigenfunktionen endet dies dann wie

$\psi_R\longrightarrow\Lambda^{+1/2}\psi_R$

$\psi_L\longrightarrow\Lambda^{-1/2}\psi_L$

Wenn wir jetzt zurück zu 3 räumlichen Dimensionen gehen $\Lambda$ enthält sowohl Boosts als auch Rotationen, und der Faktor 1/2 als Exponent auf den Rotationserzeugungsmatrizen führt zu zwei Teilchen, die wir Spin 1/2 nennen.

Hans.

Arnold Neumaier

Die Beschreibung von Spin 1/2 ist falsch. Man muss sich bewerben

Λ

$\Lambda$ und nicht seine Quadratwurzel, sondern da es eher auf einen Spinor als auf einen Vektor angewendet wird, die Wirkung von

Λ

$\Lambda$ ist anders.

Hans de Vries

Jedes Lehrbuch verwendet den Ausdruck

Λ^{1 / 2}

$\Lambda^{1/2}$ wie auf die Spinorkomponenten angewendet. Spinoren werden aus dem gleichen Grund auch auf das Quadrat der Masse normiert

\sqrt{m}

$\sqrt{m}$

Hans de Vries

Sie verwirren Observables wie die Strömung

\bar{ψ} γ^{μ} ψ

$\bar{\psi}\gamma^\mu\psi$ die sich wie ein Vektor mit dem Feld transformiert

ψ

$\psi$ selbst.

Hans de Vries

Anstatt auf die spezifische Form von zu schauen

Λ

$\Lambda$ , Betrachten Sie die allgemeine Skalierung eines allgemeinen Boosts: Vektoren:

\cosh (ϑ) + Γ \sinh (ϑ)

$\cosh(\vartheta)+\Gamma\sinh(\vartheta)$ gegen Spinors:

\cosh (ϑ / 2) + Γ \sinh (ϑ / 2)

$\cosh(\vartheta/2)+\Gamma\sinh(\vartheta/2)$

Arnold Neumaier

Ich sprach nicht von Strömungen. - „Jedes Lehrbuch verwendet den Ausdruck

Λ^{1 / 2}

$Λ^{1/2}$ ''?? Dann zeigen Sie mir bitte, wo es in Weinbergs Band 1 in dieser Form verwendet wird.

Hans de Vries

Wenn

Λ

$\Lambda$ ist eine Lorentz-Transformation wie in

V^{' μ} = Λ V^{ν} = \frac{\partial x^{' μ}}{\partial x^{ν}} V^{ν}

$V'^\mu=\Lambda\, V^\nu=\frac{\partial x'^\mu}{\partial x\,^\nu}V^\nu$ , dann transformieren Tensoren als

T^{' μ ν} = Λ \otimes Λ T^{α β} = \frac{\partial x^{' μ}}{\partial x^{α}} \frac{\partial x^{' β}}{\partial x^{ν}} T^{α β}

$T'^{\mu\nu}=\Lambda\!\otimes\!\Lambda\,T^{\alpha\beta}=\frac{\partial x'^\mu}{\partial x\,^\alpha}\!\frac{\partial x'^\beta}{\partial x\,^\nu}\,T^{\alpha\beta}$ oder symbolisch wie

Λ^{2}

$\Lambda^2$ und Spinors verwandeln sich im gleichen Sinne wie

Λ^{1 / 2}

$\Lambda^{1/2}$ zum Beispiel ausgedrückt als

ξ^{'} = \sqrt{p^{μ} σ_{μ}} ξ

$\xi'=\sqrt{p^\mu\,\sigma_\mu}~\xi$ wo

p^{μ}

$p^\mu$ transformiert sich wie ein Vektor. Die absolute Skala der Feldparameter geht mit

\cosh (ϑ / 2) + Γ \sinh (ϑ / 2)

$\cosh(\vartheta/2)+\Gamma\sinh(\vartheta/2)$

Arnold Neumaier

Ich hatte um eine Referenz in Weinberg gebeten, um Ihre (höchstwahrscheinlich falsche) Aussage zu jedem einzelnen Lehrbuch zu überprüfen. - Traditionell ist die Quadratwurzel einer 4x4-Matrix eine weitere 4x4-Matrix, also

Λ^{1 / 2} ψ

$\Lambda^{1/2}\psi$ Wenn

Λ

$\Lambda$ ist eine Lorentz-4x4-Matrix und

ψ

$\psi$ ein 2-dimensionaler Spinor würde keinen Sinn machen. Ihre abweichende Verwendung der Quadratwurzel ist zumindest sehr unkonventionell.

Hans de Vries

Das Wesentliche ist nun, dass bei Spinor-Rotationen die allgemeine Rotationsmatrix die Form hat

\cos (ϕ / 2) + Γ \sin (ϕ / 2)

$\cos(\phi/2)+\Gamma\sin(\phi/2)$ wobei der Faktor 1/2 das Feld zu einem Spin-1/2-Feld macht.

Hans de Vries

Peskin und Schroeder verwenden den Ausdruck

Λ \frac{1}{2} = \exp (- \frac{i}{2} ω_{μ ν} S^{μ ν}), (3.30)

$\Lambda{\tfrac12} ~=~ \exp(-\tfrac{i}{2}\omega_{\mu\nu}S^{\mu\nu}), (3.30)$ Dies ist eine 4x4-Matrix von Gamma-Matrizen.

Christoph

@HansdeVries: Verwendung von Peskin/Schroeder

\frac{1}{2}

$\frac12$ als Index zur Bezeichnung der Spinordarstellung, nicht als Exponent

Ryan Thorngren · Answer 4

Spin ist Teil dessen, was ein Feld ist. Die Daten für zwei Felder mit unterschiedlichen Spins sind sehr unterschiedlich. Die KG-Gleichung macht nicht einmal Sinn für ein Spin 1/2-Feld und ebenso für die Dirac-Gleichung und Spin 0-Felder.

meine2cts · Answer 5

Nur in Abwesenheit eines elektromagnetischen Feldes lösen Lösungen der Dirac-Gleichung auch die Klein-Gordon-Gleichung. Die Klein-Gordon-Gleichung kann auf Felder mit beliebigem Spin angewendet werden, solange jede Wechselwirkung mit dem Spin ignoriert werden kann.

Warum würde Klein-Gordon das Skalarfeld Spin-0 beschreiben, während Dirac Spin-1/2 beschreibt?

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