Gibt es einen Grund, warum eine relativistische Quantentheorie eines einzelnen Fermions existiert, aber nicht eines einzelnen Skalars?

Ich weiß nicht, ob das OP damit zufrieden sein wird, die ursprüngliche Frage zu beantworten, aber ich möchte all dem etwas Kontext bieten.

Ein freies Teilchen hat einheitliches Potential, also ohne Einschränkung der Allgemeinheit$V=0$. Die Schrödinger-Gleichung vereinfacht sich dann zu

$$\dot{\psi}=\frac{i\hbar}{2m}\nabla^2\psi\quad\left(1\right)$$ So $\dot{\rho}=\frac{i\hbar}{2m}\left\{\psi^\ast\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\psi^\ast\right\}$. Da die Wahrscheinlichkeit erhalten bleibt, lässt sie eine Kontinuitätsgleichung zu; die Wahrscheinlichkeit 3-aktuell $\mathbf{j}$gehorcht $\nabla\cdot\mathbf{j}=-\dot{\rho}$. Wir können wählen $\mathbf{j}:=\frac{i\hbar}{2m}\left\{\psi\boldsymbol{\nabla}\psi^\ast-\psi^\ast\boldsymbol{\nabla}\psi\right\}$(Wir können eine beliebige Locke hinzufügen $\mathbf{j}$). Wenn eine relativistische 1-Teilchen-Theorie funktionieren soll, sollte zumindest ein freies Teilchen im Minkowski-Raum einfach sein. In der speziellen Relativitätstheorie können Kontinuitätsgleichungen geschrieben werden als $\partial_\mu j^\mu=0$. Sie können überprüfen, ob diese Gleichung durch Lösungen der Masse erfüllt ist. $m$Klein-Gordon-Gleichung $$c^{-2}\partial_t^2\psi-\nabla^2\psi+\left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2=0,\quad\left(2\right)$$ sofern wir definieren $j^\mu\left(\psi\right):=\frac{i\hbar}{2m}\left\{\psi\partial^\mu\psi^\ast-\psi^\ast\partial^\mu\psi\right\}$, was eine natürliche relativistische Aufwertung von ist $\mathbf{j}$. Es liegt daher nahe, ein geeignetes Integral von anzunehmen $j^0$spuckt Wahrscheinlichkeiten aus.

Aber hier kommen wir zu einem Problem. Wenn$\phi,\,\psi$massengleiche Lösungen der Klein-Gordon-Gleichung sind, haben wir auch ein konserviertes Integral, das ihr Klein-Gordon-Innenprodukt genannt wird.

$$\left\langle\phi,\,\psi\right\rangle_{\text{KG}}:=i\int_{\mathbb{R}^3}\left(\phi^\ast\partial^0\psi-\left(\partial^0\phi^\ast\right)\psi\right)d^3\mathbf{x}.$$ Der Name ist irreführend, da es sich nicht um ein echtes inneres Produkt handelt; $\left\langle\psi,\,\psi\right\rangle_{\text{KG}}=\frac{2m}{\hbar}\int_{\mathbb{R}^3}j^0\left(\psi\right)d^3\mathbf{x}$kann negativ sein. Tatsächlich sind Lösungen von Gl. (2) werden unter dem Betrieb geschlossen $\psi\mapsto\psi^\ast$, was sich multipliziert $\left\langle\psi,\,\psi\right\rangle_{\text{KG}}$von $-1$. Gl. (1) hat eindeutig kein analoges Problem (oder seine übliche Wahrscheinlichkeitsinterpretation würde nicht existieren). Der Grund dafür ist, dass, wenn wir wollen $\psi\mapsto\psi^\ast$Um eine Schrödinger-Lösung an eine Schrödinger-Lösung zu senden, müssen wir uns auch durchsetzen $t\mapsto -t$, die auch Klein-Gordon-Innenprodukte mit multipliziert $-1$.

Und der Grund, warum Schrödinger-Lösungen Zeitumkehr erfordern und Klein-Gordon-Lösungen nicht, liegt an den Paritäten von$\partial_t$Exponenten. Bei Schrödinger ist der Exponent ungerade (es ist$1$); in Klein-Gordon ist der Exponent gerade (it's$2$). Für einen klassischen Prüfstein sind diese Paritäten auch der Grund$E=\frac{p^2}{2m}+V$ergibt eine einzigartige Energie, aber

$$E^2=m^2c^4+p^2c^2\,\quad\left(3\right)$$ nicht.

Heutzutage wissen wir, dass Lösungen mit „falschen Vorzeichen“ der Klein-Gordon-Gleichung so behandelt werden, dass (i) Lösungen als Summen von Teilen mit „positiver Frequenz“ und „negativer Frequenz“ geschrieben werden, die sich unter komplexer Konjugation austauschen (so deren Räume Basen haben, die zu den Basen des anderen konjugieren) und (ii) sagen, dass unsere Raumintegrale Differenzen zwischen der Anzahl von Teilchen und Antiteilchen berechnen.

Denken wir nun über die Dirac-Gleichung nach. Dirac hoffte, dass er negative Energielösungen von Gl. (3) mit einer Gleichung, die wie Schrödinger zeitlich erster Ordnung war. So sind wir am Ende gelandet$\gamma^\mu\partial_\mu\psi=-im\psi$. Diesmal schließen Lösungen unter$\psi\mapsto\psi^\ast$wir müssen die Transformation anhängen$x^\mu\mapsto -x^\mu$, was mehr als genug ist, um den Befund „Diesmal funktioniert es“ zu erklären. Diesmal haben wir nicht nur die Zeitumkehr, sondern auch das räumliche Äquivalent, die Paritätsumkehr $\mathbf{x}\mapsto -\mathbf{x}$.

Lassen Sie uns kurz besprechen, was mit ebenen Wellenlösungen aller drei Gleichungen passiert. Wenn ich ein konjugiere$\exp i\left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}-\omega t\right)$Lösung (die für die KGE ausreicht)$\mathbf{k},\,\omega$Vorzeichen ändern. Wenn ich dann die Zeit umkehre$\omega$wechselt zurück zu seinem alten Vorzeichen (die Schrödinger-Anforderung), sodass die einzige Gesamtänderung das Vorzeichen von ist$\mathbf{k}$. Wenn ich am Ende noch eine Paritätstransformation anwende (Dirac braucht das), ändert sich sogar dieses Vorzeichen$\mathbf{k}$ist verloren. Unsere "Symmetrie" für Dirac-Lösungen bringt also eigentlich gar nichts!

Die letzte Frage ist, was das alles mit Spin und Bosonen und Fermionen zu tun hat. Die Antikommutatoren$\left\{\gamma^\mu,\,\gamma^\nu\right\}=2\eta^{\mu\nu}$In$4$-dimensionale Raumzeit erfordern, dass die Gammamatrizen mindestens sind$4\times 4$, also der Dirac-Spinor$\psi$hat zumindest$4$Komponenten. Dirac erkannte, dass die Symmetrien der Lösungen der Dirac-Gleichung (nicht die obige "Symmetrie", einige richtige!) diese Komponenten mit einer Kombination von a in Beziehung setzen$2S+1$Spinentartung und einem Materie-Antimaterie-Faktor von$2$, So$4S+2=4$Und$S=\frac{1}{2}$. Diracs Theorie wurde nicht nur durch die Vorhersage des Positrons bestätigt, sondern auch durch die endgültige Erklärung des Spins als Folge der Relativitätstheorie, während es zuvor nur eine empirische Tatsache war, die man ohne ersichtlichen Grund zu den Axiomen der Quantenmechanik hinzufügen musste. Dies bereitete den Weg für spätere Erkenntnisse zum Spin, wie zum Beispiel das Spin-Statistik-Theorem. Fürs Erste bemerken wir, dass ein Spin-$\tfrac{1}{2}$Dirac Spinor muss ein Fermion sein.

Ihre Fragen werden ausführlich im 1. Kapitel dieses Buches beantwortet: W. Greiner, Relativistic Quantum Mechanics, http://iate.oac.uncor.edu/~manuel/libros/Modern%20Physics/Quantum%20Mechanics/Relativistic%20Quantum %20Mechanics.%20Wave%20Equations,%203rd%20ed.%20-%20W.%20Greiner.pdf

Es behandelt die Klein-Gordon-Gleichung (KGE), ihre aktuelle Interpretation und mehrere verwandte fortgeschrittene Themen in beeindruckender Tiefe.

Kurze Antwort auf die Frage : Let$\rho$sei die Wahrscheinlichkeitsdichte, die anfänglich dem KGE zugeordnet ist. Die KGE wurde als gültige Gleichung für relativistische Spin-0-Teilchen wieder eingeführt, als dies erkannt wurde$e\rho$sollte stattdessen als Ladungsdichte identifiziert werden, während die negativen Energielösungen Antiteilchen entsprechen, wie bei den Dirac-Gleichungen. Diese Neuinterpretation machte die KGE maßgeblich zur Beschreibung geladener und neutraler Spin-0-Teilchen. Das zitierte Kapitel enthält mehrere Beispiele zum Pion-Triplett,$\pi^0$,$\pi^±$, und vieles mehr.