Verletzt die relativistische Quantenmechanik (RQM) wirklich die Kausalität?

Der eigentliche Unterschied besteht darin, wie diese Ansätze Messungen behandeln.

In der Einzelteilchentheorie sind Ihre Observable die Teilchenkoordinaten$x^i(t)$. Messen Sie sie an$t_1$Und$t_2$kann zu einer scheinbaren superluminalen Ausbreitung führen.

In QFT ist Ihr Observable$\phi(x) = \phi(x^{i}, t)$. (Ich ignoriere die Tatsache, dass dies Operatorwertverteilungen sind). Die Messung von zwei durch einen raumartigen Abstand getrennten davon kann nicht zu einer überluminalen Ausbreitung führen, wie Peskin und Schröder später zeigen, wenn sie den Kommutator der Felder auswerten. Keine Großvater-Paradoxien hier.

OP hat Recht. Einerseits P&S auf S. 14 argumentieren, dass in erster quantisierter RQM der Operatorformalismus der Propagator ist

$$\begin{align}&\langle {\bf x}_f,\tau_f \mid {\bf x}_i,\tau_i\rangle\cr &~=~ \int_{\mathbb{R}^3} \!\frac{\mathrm{d}^3{\bf p}}{(2\pi\hbar)^3} \exp\left[\frac{i}{\hbar}\left( {\bf p}\cdot \Delta {\bf x} - \Delta \tau \underbrace{\sqrt{{\bf p}^2+m^2}}_{\text{Hamiltonian}}\right)\right]. \end{align}\tag{A}$$

P&S schreibt auf S. 14:

Dieses Integral kann explizit in Form von Bessel-Funktionen ausgewertet werden. [...] die Ausbreitungsamplitude außerhalb des Lichtkegels klein, aber ungleich Null ist, und die Kausalität verletzt ist.

Siehe auch diese Phys.SE-Antwort. Die Normalisierung des Integranden (A) durch P&S ist jedoch nicht Lorentz-kovariant und daher nicht für RQM geeignet. Eine sorgfältigere Lorentz-Kovariantenanalyse des Pfadintegralformalismus zeigt, dass der RQM-Propagator dies ist$^1$

$$\begin{align}&\langle {\bf x}_f,\tau_f \mid {\bf x}_i,\tau_i\rangle\cr &~=~ \int_{\mathbb{R}^3} \!\frac{\mathrm{d}^3{\bf p}}{(2\pi\hbar)^3}\color{red}{ \frac{\hbar}{2\sqrt{{\bf p}^2+m^2}} }\exp\left[\frac{i}{\hbar}\left( {\bf p}\cdot \Delta {\bf x} - \Delta \tau \underbrace{\sqrt{{\bf p}^2+m^2}}_{\text{Hamiltonian}}\right)\right], \end{align}\tag{B}$$

vgl. meine Phys.SE-Antwort hier . Bemerkenswerterweise gilt das obige Zitat von P&S im Wesentlichen immer noch!

Andererseits ist P&S in Gl. (2.50) auf p. 27 finden genau den gleichen Propagator (B) in der zweiten quantisierten KG QFT . OP hat also Recht, dass RQM im Ein-Teilchen-Sektor der freien skalaren QFT erscheint.

P&S schreibt auf S. 28:

Wir stellen also wieder fest, dass die Ausbreitungsamplitude außerhalb des Lichtkegels exponentiell verschwindet, aber nicht Null ist. Um die Kausalität wirklich zu diskutieren, sollten wir jedoch nicht fragen, ob sich Teilchen über raumartige Intervalle ausbreiten können, sondern ob eine Messung, die an einem Punkt durchgeführt wird, die Messung an einem anderen Punkt beeinflussen kann, dessen Abstand vom ersten raumartig ist.

Und P&S zeigen dann weiter, dass der Kommutator$[\phi(x),\phi(y)]=0$verschwindet außerhalb des Lichtkegels, so dass echte KG QFT kausal ist.

Ein Problem für die erste quantisierte RQM (der sich OP wohl bewusst zu sein scheint) besteht darin, dass sie die Partikelerzeugung und -vernichtung per se nicht beschreibt.

Auch die üblichen Einwände gegen zunächst quantisierte RQM gelten weiterhin, wie z. B.:

• Lokale Wechselwirkungen koppeln sowohl an negative als auch an positive Energiezustände, sodass man negative Energiezustände nicht verwerfen kann.

• Es gibt unbegrenzte negative Energiezustände.

• Die relativistische Wahrscheinlichkeitsdichte

  $$\rho ~=~\frac{i\hbar}{2mc^2}\left(\psi^{\ast} \partial_t \psi - \psi \partial_t \psi^{\ast}\right) \tag{C}$$ kann negativ sein!

• Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

Verweise:

1. ME Peskin & DV Schroeder, Eine Einführung in QFT; P. 14 + S. 27.

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$^1$Beide Propagatoren (A) und (B) erfüllen

$$(\Box_f-m^2)\langle {\bf x}_f,\tau_f \mid {\bf x}_i,\tau_i\rangle~=~0, \qquad \Delta\tau~:=~\tau_f-\tau_i~>~0,\tag{D}$$

aber nur Propagatoren (A) erfüllt die Normalisierung

$$\langle {\bf x}_f,\tau_f \mid {\bf x}_i,\tau_i\rangle ~\longrightarrow~\delta^3(\Delta {\bf x}) \quad \text{for} \quad \Delta\tau \to 0^+. \tag{E}$$

Der Operator, der misst, ob sich ein Partikel an einer bestimmten Position befindet$x$ist der Projektionsoperator$\mathcal{O}_x=|x\rangle\langle x|$. Angenommen, wir haben einen anderen Projektionsoperator$\mathcal{O}_y=|y\rangle \langle y|$. Auf dem Heisenberg-Bild$\mathcal{O}_y(t)=U^\dagger(t)\mathcal{O}_yU(t)$. Deshalb,

$$[\mathcal{O}_x(t=0),\mathcal{O}_y(t)]=|x\rangle\langle x|U^\dagger|y\rangle \langle y|U-U^\dagger|y\rangle \langle y|U|x\rangle \langle x|.$$ Jetzt$\langle y|U|x\rangle$, und sein komplexes Konjugat$\langle x|U^\dagger|y\rangle$, sind, wie in Peskin und Schroeder gezeigt, selbst mit dem in Qmechanics Antwort diskutierten kovarianten Integral ungleich Null. Seit$|x\rangle\langle y|U$Und$U^\dagger|y\rangle\langle x|$nicht proportional zueinander sind, können sich die beiden Terme nicht aufheben. Daher ist der Kommutator nicht Null, und eine Messung bei durchgeführt$x$kann eine außerhalb durchgeführte Messung bewirken$x$der Lichtkegel.