Warum ist die Klein-Gordon-Gleichung zeitlich zweiter Ordnung?

Es gibt einen großen Unterschied zwischen Schrödinger/Dirac-Gleichungen und Klein-Gordon-Gleichungen: Erstere sind komplex, während letztere real sind. Aber wenn Sie ein wenig darüber nachdenken, werden Sie auch eine große Ähnlichkeit feststellen.

Wenn Sie komplexe Zahlen der Form darstellen$a+ib$ mit Matrizen der Form$\pmatrix{a&-b\\ b&a}$, dann können Sie die Schrödinger-Gleichung einfach so umschreiben (wobei alle Dimensionskonstanten gleich sind$1$):

$$\left\{\begin{align} \dot R&=\hat H_RI-\hat H_I I\\ -\dot I&=\hat H_RR+\hat H_I R, \end{align}\right.$$

Wo$R$und$I$sind Real- und Imaginärteil der Wellenfunktion$\psi=R+iI$, und Hamiltonian$\hat H=\hat H_R+i\hat H_I$.

Jetzt kann die Klein-Gordon-Gleichung auch in dieser Form umgeschrieben werden:

$$\left\{\begin{align} \dot\varphi&=A\\ \dot A&=\nabla^2\varphi-\mu^2\varphi. \end{align}\right.$$

In beiden Fällen haben Sie zwei simultane Gleichungen erster Ordnung. In beiden Fällen müssen Sie zwei Anfangsbedingungen angeben. Für die Schrödinger-Gleichung sind sie reell$R$und eingebildet$I$Teile der Wellenfunktion, und für die Klein-Gordon-Gleichung sind sie es$\varphi$und$\dot\varphi$.

In nicht-relativistischen Theorien haben Sie

$$\frac{\mathbf p^2}{2m}=E\to\frac{\hat{\mathbf p}^2}{2m}=\hat E$$ was uns das Normale gibt $\nabla^2$und $\partial_t$Terme finden wir in der Schrödinger-Gleichung. Wenn Sie die Relativitätstheorie berücksichtigen, wird die obige Energie-Impuls-Beziehung $$\sqrt{\mathbf p^2c^2+m^2c^4}=E\tag{1}$$ Wenn Sie diese in Operatoren umwandeln, erhalten Sie unter dem Quadratwurzelbegriff eine wackelige zweite Ableitung: $$\sqrt{(-i\hbar\nabla)^2 c^2+m^2c^4}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$$ womit man nur schwer arbeiten kann. Anstelle von (1) verwenden Sie also einfach $$\mathbf p^2c^2+m^2c^4=E^2\tag{2}$$ als Anfang. Dies führt naturgemäß zur zeitlich zweiten Ordnung.

Die Zeitentwicklung der Wellenfunktion wird immer durch die Schrödinger-Gleichung beschrieben

$$\dot{\psi} = -i \hat{H} \psi,$$ die zeitlich linear ist. Die Klein-Gordon-Gleichung ist eine klassische relativistische Gleichung, die die Ausbreitung von Störungen in einem Feld beschreibt $\phi$Masse tragen $m$. Diese Gleichung ist zeitlich zweiter Ordnung, genau wie die meisten klassischen Bewegungsgleichungen, die man sich vorstellen kann (z. B. Newtons zweites Gesetz). Wenn Sie eine solche Feldtheorie quantisieren, ist die Wellenfunktion nun ein Funktional des Feldes, dh $\psi[\phi(x)]$beschreibt die Wahrscheinlichkeitsamplitude für eine bestimmte Feldkonfiguration, die die Werte nimmt $\phi(x)$an allen möglichen Raum-Zeit-Punkten $x$. Wie immer in der Quantentheorie werden die dynamischen Variablen als nichtkommutierende Operatoren dargestellt. In diesem Fall das Feld $\phi$wird somit zum Operator $\hat{\phi}$, und der Hamiltonian $\hat{H}$wird durch diese Feldoperatoren ausgedrückt.