Nichtrelativistische Grenze des komplexen Skalarfeldes

Auf Seite 42 von David Tongs Vorlesungen über die Quantenfeldtheorie sagt er, dass man den Schrödinger-Lagrangian auch ableiten kann, indem man die nicht-relativistische Grenze des (komplexen?) Skalarfeld-Lagranges nimmt. Und dafür nutzt er die Bedingung ∂ T Ψ ≪ M Ψ , was er wohl meint | ∂ T Ψ ~ | ≪ | M Ψ ~ | , sonst verstehe ich es nicht. Auf jeden Fall beginnend mit dem Lagrange:

L = ∂ μ ψ ~ ∂ μ ψ ~ ∗ − M 2 ψ ~ ψ ~ ∗

Mit der Ungleichung, die ich für richtig halte, kann ich nur Folgendes erreichen:

L = − ∇ ψ ~ ∇ ψ ~ ∗ − M 2 ψ ~ ψ ~ ∗

Und davon habe ich versucht, in Beziehung zu treten ψ ~ oder ψ (wie wir den obigen Lagrange-Operator mit beiden schreiben können, da er unter der Multiplikation mit einer reinen Phase unveränderlich ist), to ψ ˙

Für eine Verbindung zwischen Schr. Gl. und Klein-Gordon Gl. siehe zB A. Zee, QFT in a Nutshell, Kap. III.5, und dieser Phys.SE-Beitrag sowie darin enthaltene Links.
Beachten Sie, dass die Klein-Gordon-Gleichung Poincare-kovariant ist und die Schrödinger-Gleichung nicht. Das bedeutet, dass das Zweite nicht die direkte Folge des Ersten sein kann.

Antworten (1)

Sie können es nicht "direkt" aus einer Klein-Gordon-Gleichung oder einem Klein-Gordon-Lagrange-Operator ableiten.

Ausgehend von einer Klein-Gordon-Gleichung für ψ , und definieren ψ ( X → , T ) = e − ich M T ψ ~ ( X → , T ) ( 2.103 ), erhalten Sie eine neue Gleichung für ψ ~ , die keine Klein-Gordon-Gleichung ist:

(2.104) ψ ~ ¨ − 2 ich M ψ ~ ˙ − ∇ 2 ψ ~ = 0

Durch die Fourier-Transformation entspricht dies der Bedingung:

(1) ( E ' 2 + 2 M E ' − P → 2 ) = 0

Was bedeutet das?

Wir beginnen mit einer Klein-Gordon-Gleichung für ψ , was durch Fourier-Transformation der Bedingung entspricht

(2) ( E 2 − P → 2 − M 2 ) = 0

Nun die Verwandlung ψ ( X → , T ) = e − ich M T ψ ~ ( X → , T ) ( 2.103 ) , gibt die Verbindung zwischen E ' Und E , das ist E ' = E − M , dies ist eine Verschiebung in der Definition der Energie.

Also ab ( 2 ) , wir haben einfach : ( ( E ' + M ) 2 − P → 2 − M 2 ) = 0 , das ist nur die Bedingung ( 1 )

Nun, wenn wir vermuten | P → | ≪ M , das heisst | E − M | ≪ M (mit E ∼ M ) , das ist E ' ≪ M , So E ' 2 ≪ M E ' .

Zurück zur Gleichung ( 2.104 ) , die keine Klein-Gordon-Gleichung ist, sehen wir durch die Fourier-Transformation, dass wir den ersten Term relativ zum zweiten Term vernachlässigen können, und schließlich erhalten Sie:

(2.105) ich ψ ~ ˙ = − 1 2 M ∇ 2 ψ ~ = 0

Was Lagrangianer betrifft, werden Sie, glaube ich, ein Problem haben, wenn Sie ein Lagrange-Geben definieren wollen ( 2.104 ) , mit nur einem reellen Skalarfeld ψ ~ , wegen dem ψ ~ ˙ Begriff.

Sie müssen also ein komplexes Skalarfeld betrachten, und im Lagrange gibt es Begriffe wie ψ ~ ¯ ˙ ψ ~ ˙ Und ich M ψ ~ ¯ ψ ~ ˙ , ich M ψ ~ ¯ ˙ ψ ~ , und der erste Term ist in der von uns diskutierten Näherung relativ zu den anderen Termen vernachlässigbar.

Aber wie bekommt man die letzten beiden Terme? M ψ ~ ¯ ψ ~ ˙ , M ψ ~ ψ ~ ¯ ˙ ? Und das ist auch nicht genau das, was Sie wollen, oder? Du willst ein ich ψ ~ ¯ ψ ~ ˙
Ja, das sind Begriffe ich M ψ ~ ¯ ψ ~ ˙ , ich M ψ ~ ¯ ˙ ψ ~ (Die habe ich übersprungen ich )
Es ist nur eine Modifikation von Lagrange 1.15 , wobei wir mit multiplizieren M die ersten 2 Terme überspringen wir den letzten Term und fügen den quadratischen Zeitableitungsterm hinzu.
Ich glaube, ich habe es jetzt geschafft. Mein Problem war zu sagen, dass "da wir den obigen Lagrange mit beiden schreiben können, da er unter Multiplikation mit einer reinen Phase unveränderlich ist", dass es wahr ist, aber die reine Phase nicht von x abhängen kann und die e − M T tut. Wenn ich das also richtig in den KG-Komplex-Skalarfeld-Lagrange eingesetzt habe, erhalte ich tatsächlich die von Ihnen genannten Terme, und nach Anwendung des nicht-rel. Bedingung, ich bekomme den Lagrangeian 1.15 mit den von Ihnen genannten Modifikationen (und mit einem 1 2 vor den Gradienten); und das ergibt die richtige Art von Schrödingers Gleichung. Danke!
@ user29621 : Okay, schön.
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