Grenzen, die verwendet werden, um die nicht-relative Grenze der Klein-Gordon-Gleichung zu finden

Ich habe nur eine Frage zur Beurteilung der nichtrelativistischen Grenze der Klein-Gordon-Gleichung. In dem Buch, dem ich folge ( Quantum Mechanics von Bransden & Joachain) verwenden sie die Grenzen (Kap. 15.1, S. 681);

| Q ϕ | ≪ M C 2 | ℏ 2 M C 2 D ϕ D T | ≪ | ϕ | | ℏ 2 2 M C 2 D 2 Ψ D T 2 | ≪ | ℏ D Ψ D T |

um den nichtrelativistischen Grenzwert der KG-Gleichung für ein spinloses Teilchen zu untersuchen, laden Q in einem EM-Feld gegeben durch A Und ϕ . Meine Frage ist, woher wissen wir, dass wir diese Grenzen verwenden können? Ich bin mit allen anderen Schritten der Ableitung und der Schrödinger-Gleichung einverstanden, kann aber nicht verstehen, woher diese Grenzen kommen, da sie nur ohne Erklärung in das Buch eingeführt werden.

Ich bin mit QFT und auch mit Tensornotation nicht vertraut, bin aber damit einverstanden, die Energie ca. gleich der Ruhemasse und v ≪ C . Ich weiß auch nicht viel über Elektromagnetismus und kämpfe daher damit, zu sehen, wie diese Grenzen entstehen. Jede Hilfe ist sehr willkommen, danke!

Allgemeine Bemerkung: Für eine Verbindung zwischen Schr. Gl. und Klein-Gordon Gl. siehe zB A. Zee, QFT in a Nutshell, Kap. III.5, und dieser Phys.SE-Beitrag sowie darin enthaltene Links.
@Qmechanic Tut mir leid, ich hätte erwähnen sollen, dass ich mich dem aus einer Pre-QFT-Perspektive nähere, da ich diesen Beitrag tatsächlich überprüft habe, bevor ich gefragt habe, und nicht allzu viel verstehen kann! Ich bin mit der Beziehung zwischen den beiden Gleichungen einverstanden, nur deshalb können wir diese Grenzen nehmen, die ich nicht verstehe.

Antworten (1)

  • | Q ϕ | ≪ M C 2 bedeutet, dass die Ruhemasse des Teilchens viel größer ist als die elektrostatische potentielle Energie. Dies ist die übliche Annahme der nichtrelativistischen Mechanik, die äquivalent ist zu v ≪ C . Sie können dies mit dem Virialsatz sehen:

    1 2 M v 2 ∼ Q ϕ
    was bedeutet, dass Q ϕ ≪ M C 2 iff v ≪ C .

  • ℏ 2 M C 2 D ϕ D T ≪ ϕ ist eine Einschränkung der potentiellen Energie: Sie kann zeitlich nicht sehr schnell variieren, da sonst die elektromagnetische Strahlung gegenüber dem elektrostatischen Feld dominieren würde. Das Limit ℏ 2 M C 2 D ϕ D T ≪ ϕ sagt nichts über die Geschwindigkeit der Teilchen aus, sondern über das Feld, das sie fühlen. Wenn du schreibst

    ϕ ∼ v 0 e ich ω T
    das wirst du finden ℏ 2 M C 2 D ϕ D T ≪ ϕ ist äquivalent zu ℏ ω ≪ 2 M C 2 . Dies bedeutet wiederum, dass die Strahlungsenergie ("die Energie von Photonen") klein ist im Vergleich zur Ruhemasse des Teilchens.

  • ℏ 2 2 M C 2 D 2 Ψ D T 2 ≪ ℏ D Ψ D T bedeutet wiederum, dass die kinetische Energie der Elektronen klein ist im Vergleich zu ihrer Ruhemasse. Wenn du schreibst

    Ψ ∼ Ψ 0 e − ich ( E T − P X ) / ℏ
    das wirst du sehen ℏ 2 2 M C 2 D 2 Ψ D T 2 ≪ ℏ D Ψ D T ist äquivalent zu E ≪ 2 M C 2 .

Vielen Dank, das ist genau das, wonach ich gesucht und genau auf der richtigen Ebene gepitcht habe, damit ich es verstehe!
@ellaf Ich bin froh, dass ich helfen konnte :-) Wenn Sie weitere Fragen haben, können Sie sie gerne stellen.
Beim zweiten Punkt geht es nicht um Strahlung, sondern um die Erzeugung von Teilchen-Antiteilchen-Paaren. Wenn ω > 2 M C 2 , das EM-Feld hat genug Energie, um Paare zu bilden (der Faktor 2 ist hier wichtig)
@Adam, was Sie sagen, ist im Wesentlichen dasselbe, was ich in meiner Antwort gesagt habe: Wenn die Energie der Photonen hoch genug ist, können sie eine Paarproduktion induzieren. Aber streng genommen sollte man in diesem Zusammenhang nicht von Paarbildung sprechen (OP fragt nach „pre-QFT“: siehe die Ausführungen oben), sondern von nichtlinearen elektromagnetischen Effekten.
Das sagen Sie in Ihrer Antwort nicht: "Sonst würde die elektromagnetische Strahlung gegenüber dem elektrostatischen Feld dominieren" und "sagt nichts über die Teilchen", während die Paarbildung alles mit den Teilchen zu tun hat. Und nicht weil das OP nach Pre-QFT fragt, muss die Antwort auch so sein ... wenn der Effekt eindeutig von QM + SR kommt, was QFT ist ...
@ Adam Ich stimme zu: Ich habe nicht die richtigen Worte für das verwendet, was ich dort sagen wollte. Die Bedingung ℏ ω ≪ 2 M C 2 geht es um die Teilchen. Ich wollte damit sagen, dass es nicht um die Geschwindigkeit der Teilchen geht, dh es geht nicht darum v ≪ C . Bearbeitet. (aber beachten Sie, dass QM+SR überhaupt nicht QFT ist!)
Sicher :) Schwierig, ich würde immer noch über die Paarproduktion sprechen (ich bin mir sicher, dass das OP schon einmal davon gehört hat).
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