Kann ein relativistisches Quantenteilchen vollständig in einem endlichen Loch eingeschlossen werden?

Question

Kann ein relativistisches Quantenteilchen vollständig in einem endlichen Loch eingeschlossen werden?

Fausto Vezzaro

Wenn wir die Klein-Gordon-Gleichung in dieser Form schreiben

C^{2} ℏ^{2} \nabla^{2} Ψ = ℏ^{2} \ddot{Ψ} + 2 ich ℏ (U - M C^{2}) \dot{Ψ} + U (2 M C^{2} - U) Ψ

$\begin{equation*} c^2 \hbar^2 \nabla^2 \Psi = \hbar^2 \ddot{\Psi} + 2i\hbar (U - mc^2) \dot{\Psi} + U (2mc^2 - U) \Psi \end{equation*}$ Wir haben ein angenehmes Gefühl der Kontinuität von der nicht-relativistischen zur relativistischen Behandlung von Quantenteilchen (wir verwenden den Schrödinger-Formalismus, und um die NR-Lösungen zu erhalten, müssen wir nur setzen

c \to \infty

$c\to\infty$ ). Die (nicht Lorentz-invariante) Gleichung muss mit Vorsicht gehandhabt werden, da die Manipulationen, die ich verwendet habe, um sie zu erhalten, das Quadrieren der Energieerhaltung beinhalteten, sodass wir auch falsche Lösungen erhalten können. Aber ich denke, dass es für Null-Spin-Teilchen funktioniert, weil ich es auf Seite 42 von Wachter's Relativistic Quantum Mechanics (etwas anders geschrieben) gefunden habe.

Wenn wir das vermuten $|\Psi|^2$ ist stationär (d. h. die Lösung hat die Form $\Psi (\mathbf{r},t) = \psi (\mathbf r) e^{Ct}$ mit $C$ rein imaginär) nimmt die Gleichung die zeitunabhängige Form an:

- C^{2} ℏ^{2} \nabla^{2} Ψ = [U^{2} - 2 (E + M C^{2}) U + E^{2} + 2 E M C^{2}] Ψ

$\begin{equation*} -c^2 \hbar^2 \nabla^2 \Psi = [U^2 - 2(E+mc^2)U + E^2+2Emc^2] \Psi \end{equation*}$ (Wenn Sie an der Beweissuche sr.pdf auf meiner Homepage interessiert sind, übertrage ich sie hier nicht, da dies mehr als eine Frage, sondern ein Artikel werden sollte)

Meine Frage:

Angenommen, Sie verwenden diese Gleichung mit einem endlichen eindimensionalen Loch:

U (X) = {\begin{cases} - v_{0} & Wenn - A < X < A \\ 0 & Wenn | X | > A \end{cases}

$\begin{equation*} U(x) = \left\{ \begin{array}{ll} -V_0 & \quad \textrm{if }-a<x<a\\ 0 & \quad \textrm{if }|x|>a \end{array} \right. \end{equation*}$ Im Innenbereich

Ψ

$\Psi$ ist sinusförmig (mit der nicht einschränkenden Bedingung

E > - V_{0}

$E>-V_0$ ), aber in der externen Region bekommen wir

Ψ^{″} = k^{2} Ψ; k = \frac{\sqrt{- E (E + 2 M C^{2})}}{C ℏ}

$\begin{equation*} \Psi'' = k^2 \Psi ;\qquad k = \frac{\sqrt{-E (E + 2 mc^2)}}{c \hbar} \end{equation*}$ Wenn

- 2 m c^{2} < E < 0

$-2mc^2 <E <0$ ,

k \in R^{+}

$k \in \mathbb{R}^+$ , ansonsten

k

$k$ rein imaginär ist, die Wellenfunktion sinusförmig ist und die Normierung unmöglich ist. Kein Wunder, dass für

E > 0

$E>0$ wir haben keine stationären Zustände mit diesem endlichen Loch, aber:

Was ist mit dem Fall $E<-2mc^2$ ? Was bedeutet das?

Die einzige vernünftige Interpretation, die ich gefunden habe, ist, dass in diesem Fall das Teilchen vollständig in das Loch eingeschlossen ist. - Ist das falsch?

Trimok

Ihre Klein-Gordon-Gleichung ist bei vorhandenem Potenzial nicht korrekt, sie ist ((

\hat{E} - \hat{U})^{2} - {\hat{P}}^{2} - m^{2}) ψ = 0

$\hat E - \hat U)^2 - \hat P^2 - m^2) \psi=0$

Fausto Vezzaro

Meine Gleichung ist die von Wachter mit V = U-mc ^ 2, aber außer in diesem Fall habe ich wirklich nie eine KG-Gleichung gefunden, die mit Potenzial geschrieben wurde, weder meine noch Ihre. Können Sie mir mehr über Ihre KG-Gleichung sagen? Was ist das P? Wo finde ich diese Art, die KG-Gleichung zu schreiben?

Trimok

{\hat{P}}^{i}

$\hat P^i$ ist der Impulsoperator

(- i ℏ \frac{\partial}{\partial x^{i}})

$(-i\hbar \dfrac{\partial}{\partial{x^i}})$ , Und

{\hat{P}}^{2} = \sum_{i} {\hat{P}}^{i} {\hat{P}}^{i}

$\hat P^2 = \sum\limits_i \hat P^i \hat P^i$ ist der quadrierte Normoperator, das heißt

(- ℏ^{2} \nabla^{2})

$(-\hbar^2 \nabla^2)$ . Für die Klein-Gordon-Gleichung mit Potential siehe zum Beispiel Gleichungen

(45), (46)

$(45), (46)$ Buchseite

7

$7$ in diesem Papier . In der Zeitung,

U = e ϕ

$U=e\phi$ ist die elektromagnetische potentielle Energie.

Fausto Vezzaro

Ich fürchte, wir verwenden zwei verschiedene Formalismen, und ich kenne Ihren (mit 4-Vektor) nicht. Jetzt gehe ich: Ich werde versuchen, über das nachzudenken, was Sie geschrieben haben.

Fausto Vezzaro

Wenn Sie in meiner stationären Gleichung ersetzen

U

$U$ mit

U + m c^{2}

$U+mc^2$ , und einstellen

c = 1

$c=1$ , erhalten Sie Ihre Gleichung. Trotz zweier unterschiedlicher Wahl in der Einheit und in der Nullstellung

U

$U$ , wir haben das gleiche geschrieben. Aber die Wahl von

U = 0

$U=0$ sollte keine Rolle spielen. Wenn wir willkürlich hinzufügen

ξ

$\xi$ Zu

U

$U$ In dem obigen endlichen Loch finden wir mit meiner Gleichung die Normalisierungsbedingung

ξ - 2 m c^{2} < E < ξ

$\xi - 2mc^2 <E<\xi$ , während wir Ihre verwenden, finden wir

ξ - 2 m c^{2} < E - m c^{2} < ξ

$\xi - 2mc^2 <E - mc^2<\xi$ . Aber in deiner Gleichung

E

$E$ ist die relativistische Gesamtenergie, so dass unsere Normalisierungsbedingung dieselbe ist: Wenn das Loch ausreichend tief (und groß) ist, scheint der Einschluss möglich zu sein.

Trimok

Die Gesamtenergie

E

$E$ (in meinen Konventionen) ist sicherlich positiv. Also, mit Ihren Konventionen (ich denke, Sie nehmen

E^{'} = E - m c^{2}

$E' = E- mc^2$ ), müssen Sie unbedingt

E^{'} \geq - m c^{2}

$E' \geq - mc ^2$

Fausto Vezzaro

Ich bin verwirrt. Wenn dein

E

$E$ Ist

E_{0} + K + U

$E_0+K+U$ Und

U

$U$ hängt willkürlich von der ab

U = 0

$U=0$ Wahl, warum kann es nicht negativ sein? Darüber hinaus beinhaltet die Normalisierbarkeitsbedingung den Unterschied zwischen der

ξ

$\xi$ Energie, die dem externen Bereich entspricht, und die Gesamtenergie

E

$E$ . Warum, mit einem ausreichend tiefen Loch (und groß genug, dass der Grundzustand ausreichend niedrig ist

K

$K$ ) dieser Unterschied darf nicht größer sein als

m c^{2}

$mc^2$ ?

Fausto Vezzaro

Wir können meine Frage auf diese Weise umstellen (egal ob in unserer Gleichung, was wir nennen

E

$E$ Ruheenergie einschließen oder nicht): Stimmt das, wenn das Loch tiefer ist als

M C^{2} (1 + \sqrt{1 + {(\frac{H}{4 A M C})}^{2}})

$mc^2 \left( 1 + \sqrt{ 1+\left( \frac{h}{4amc} \right)^2 } \right)$ gibt es eine endliche Anzahl von stationären Zuständen, für die die Wellenfunktion vollständig in das Loch eingeschlossen ist? (Wenn das Loch beispielsweise 2 fm groß ist und wir eine Elektronenmasse verwenden, muss das Loch mindestens 310,4719 MeV tief sein.)

Antworten (1)

Kann ein relativistisches Quantenteilchen vollständig in einem endlichen Loch eingeschlossen werden?

Ihre Klein-Gordon-Gleichung ist bei vorhandenem Potenzial nicht korrekt, sie ist (( $\hat E - \hat U)^2 - \hat P^2 - m^2) \psi=0$
Meine Gleichung ist die von Wachter mit V = U-mc ^ 2, aber außer in diesem Fall habe ich wirklich nie eine KG-Gleichung gefunden, die mit Potenzial geschrieben wurde, weder meine noch Ihre. Können Sie mir mehr über Ihre KG-Gleichung sagen? Was ist das P? Wo finde ich diese Art, die KG-Gleichung zu schreiben?
$\hat P^i$ ist der Impulsoperator $(-i\hbar \dfrac{\partial}{\partial{x^i}})$ , Und $\hat P^2 = \sum\limits_i \hat P^i \hat P^i$ ist der quadrierte Normoperator, das heißt $(-\hbar^2 \nabla^2)$ . Für die Klein-Gordon-Gleichung mit Potential siehe zum Beispiel Gleichungen $(45), (46)$ Buchseite $7$ in diesem Papier . In der Zeitung, $U=e\phi$ ist die elektromagnetische potentielle Energie.
Ich fürchte, wir verwenden zwei verschiedene Formalismen, und ich kenne Ihren (mit 4-Vektor) nicht. Jetzt gehe ich: Ich werde versuchen, über das nachzudenken, was Sie geschrieben haben.
Wenn Sie in meiner stationären Gleichung ersetzen $U$ mit $U+mc^2$ , und einstellen $c=1$ , erhalten Sie Ihre Gleichung. Trotz zweier unterschiedlicher Wahl in der Einheit und in der Nullstellung $U$ , wir haben das gleiche geschrieben. Aber die Wahl von $U=0$ sollte keine Rolle spielen. Wenn wir willkürlich hinzufügen $\xi$ Zu $U$ In dem obigen endlichen Loch finden wir mit meiner Gleichung die Normalisierungsbedingung $\xi - 2mc^2 <E<\xi$ , während wir Ihre verwenden, finden wir $\xi - 2mc^2 <E - mc^2<\xi$ . Aber in deiner Gleichung $E$ ist die relativistische Gesamtenergie, so dass unsere Normalisierungsbedingung dieselbe ist: Wenn das Loch ausreichend tief (und groß) ist, scheint der Einschluss möglich zu sein.
Die Gesamtenergie $E$ (in meinen Konventionen) ist sicherlich positiv. Also, mit Ihren Konventionen (ich denke, Sie nehmen $E' = E- mc^2$ ), müssen Sie unbedingt $E' \geq - mc ^2$
Ich bin verwirrt. Wenn dein $E$ Ist $E_0+K+U$ Und $U$ hängt willkürlich von der ab $U=0$ Wahl, warum kann es nicht negativ sein? Darüber hinaus beinhaltet die Normalisierbarkeitsbedingung den Unterschied zwischen der $\xi$ Energie, die dem externen Bereich entspricht, und die Gesamtenergie $E$ . Warum, mit einem ausreichend tiefen Loch (und groß genug, dass der Grundzustand ausreichend niedrig ist $K$ ) dieser Unterschied darf nicht größer sein als $mc^2$ ?
Wir können meine Frage auf diese Weise umstellen (egal ob in unserer Gleichung, was wir nennen $E$ Ruheenergie einschließen oder nicht): Stimmt das, wenn das Loch tiefer ist als $M C^{2} (1 + \sqrt{1 + {(\frac{H}{4 A M C})}^{2}})$ $mc^2 \left( 1 + \sqrt{ 1+\left( \frac{h}{4amc} \right)^2 } \right)$ gibt es eine endliche Anzahl von stationären Zuständen, für die die Wellenfunktion vollständig in das Loch eingeschlossen ist? (Wenn das Loch beispielsweise 2 fm groß ist und wir eine Elektronenmasse verwenden, muss das Loch mindestens 310,4719 MeV tief sein.)

Fausto Vezzaro · Answer 1

Wenn wir das vermuten $\Psi$ ist beschränkt müssen wir haben $\Psi=0$ in der äußeren Region, also müssen wir an der Grenze der inneren Region haben $\Psi=0$ Und $\frac{d\Psi}{dx}=0$ . Aber mit unserer Wohnung $U$ , stationäre KG-Gleichung sagen $\Psi$ sinusförmig oder exponentiell ist, so dass diese Erfordernisse nicht gleichzeitig erfüllt werden können. Fazit: die Eindämmung von $\Psi$ ist unmöglich (einfach, stationäre Zustände mit $E<-2mc^2$ sind unmöglich).

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