Woher stammen die Teilchen- und Antiteilchen-Wellenfunktionen in der Klein-Gordon-Gleichung?

Question

Woher stammen die Teilchen- und Antiteilchen-Wellenfunktionen in der Klein-Gordon-Gleichung?

Physik
Antimaterie
Quantenmechanik
Spezielle Relativität
Klein-Gordon-Gleichung

Cameron

In meinem Lehrbuch (Sakurai) steht das so

(D_{μ} D^{μ} + M^{2}) Ψ (X, T) = 0

$\left(D_\mu D^\mu+m^2\right)\Psi(\mathbf{x},t)=0$

Wo $D_\mu=\partial_\mu+ieA_\mu$ ist die kovariante Ableitung.

Sie besagt, dass wir, da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, die Wellenfunktion zu ihrem Anfangszeitpunkt sowie ihre erste Ableitung angeben müssen. Alternativ können wir die KG-Gleichung zweiter Ordnung auf zwei Gleichungen erster Ordnung reduzieren und das Ergebnis anhand des Vorzeichens der elektrischen Ladung interpretieren.

Das können wir nutzen $D_\mu D^\mu=D_t^2-\vec{D}^2$ um die beiden neuen Funktionen zu erhalten

ϕ (X, T) = \frac{1}{2} (Ψ (X, T) + \frac{ich}{M} D_{T} Ψ (X, T))

$\phi(\mathbf{x},t)=\frac{1}{2}\left(\Psi(\mathbf{x,t})+\frac{i}{m}D_t\Psi(\mathbf{x,t})\right)$

χ (X, T) = \frac{1}{2} (Ψ (X, T) - \frac{ich}{M} D_{T} Ψ (X, T))

$\chi(\mathbf{x},t)=\frac{1}{2}\left(\Psi(\mathbf{x,t})-\frac{i}{m}D_t\Psi(\mathbf{x,t})\right)$

aber woher kommen diese beiden Funktionen? Wie erhalten Sie sie aus diesen Informationen?

Antworten (1)

Woher stammen die Teilchen- und Antiteilchen-Wellenfunktionen in der Klein-Gordon-Gleichung?

Oktonion · Answer 1

Die beiden Gleichungen, die Sie unten geschrieben haben, sind nur Definitionen von $\phi$ Und $\chi$ . Sie haben an diesem Punkt in Sakurais Argumentation keine physikalische Interpretation. Die physikalische Interpretation kommt später, wenn er die Klein-Gordon-'Wahrscheinlichkeits'-Dichte in Bezug auf sie umschreibt (siehe 8.1.20).

Es gibt einen Standardweg, um eine Differentialgleichung höherer Ordnung in ein System von Gleichungen erster Ordnung umzuwandeln. Zum Beispiel, wenn wir geben $D_t \Psi(x,t)$ ein neuer Name, $\Pi(x,t)$ ,

D_{T} Ψ \equiv - ich M Π

$D_t \Psi \equiv -i m\, \Pi$

dann wird die Klein-Gordon-Gleichung zu einem System erster Ordnung in zwei Funktionen $\Psi,\Pi$

D_{T} Π = \frac{ich}{M} ({\vec{D}}^{2} - M^{2}) Ψ

$D_t \Pi = \frac{i}{m}(\vec{D}^2 - m^2)\Psi$

Ersetzen Sie die Definition von $\Pi$ um die ursprüngliche Klein-Gordon-Gleichung zu erhalten.

Jetzt statt der Freiheitsgrade $\Psi,\Pi$ es steht uns frei, stattdessen zwei unabhängige Linearkombinationen zu definieren:

ϕ \equiv \frac{1}{2} (Ψ + Π) χ \equiv \frac{1}{2} (Ψ - Π)

$\phi\equiv\frac{1}{2}(\Psi+\Pi)\quad\chi\equiv\frac{1}{2}(\Psi-\Pi)$ Dann addieren und subtrahieren wir die ersten beiden Gleichungen, für die wir Gleichungen erster Ordnung erhalten

ϕ

$\phi$ Und

χ

$\chi$ stattdessen (siehe 8.1.16, oder versuchen Sie es selbst).

Woher stammen die Teilchen- und Antiteilchen-Wellenfunktionen in der Klein-Gordon-Gleichung?

Cameron

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