Was ist falsch an der Quadratwurzelversion der Klein-Gordon-Gleichung?

Der Wikipedia - Artikel hat eine Ableitung der Klein-Gordon-Gleichung. Es kommt zu diesem Schritt:

P 2 C 2 + M 2 C 4 = E

und fügt die zu erhaltenden QM-Operatoren ein

( ( − ich ℏ ∇ ) 2 C 2 + M 2 C 4 ) ψ = ich ℏ ∂ ∂ T ψ

Der Artikel sagt dann

Dies ist jedoch ein umständlicher Ausdruck, da der Differentialoperator nicht unter dem Quadratwurzelzeichen ausgewertet werden kann. Außerdem ist diese Gleichung in ihrer jetzigen Form nichtlokal.

Um dies zu beheben, wird die erste Gleichung quadriert, anstatt sie zu erhalten

P 2 C 2 + M 2 C 4 = E 2

Danach werden die QM-Operatoren eingefügt und der Ausdruck ist vereinfacht zu erhalten

− ℏ 2 C 2 ∇ 2 ψ + M 2 C 4 ψ = − ℏ 2 ∂ 2 ∂ T 2 ψ

Ein paar Dinge, die ich nicht verstehe. Erstens, sind die Lösungen dieser Differentialgleichung nicht genau dieselben wie die Lösungen der ersten Differentialgleichung? Beide Seiten der Ausgangsgleichung wurden quadriert, daher scheint es mir, dass beide unabhängig von der jeweiligen Form der resultierenden Differentialgleichung genau denselben Lösungssatz haben sollten.

Zweitens, warum ist es umständlich, mit der ersten Differentialgleichung zu arbeiten? Es scheint tatsächlich einfacher zu sein, damit zu arbeiten, da der Operator unter der Quadratwurzel in Bezug auf eine Taylor-Reihe erweitert werden könnte und Sie dann eine Gleichung erster Ordnung in der Zeit haben.

Und zum Schluss, kann jemand näher erläutern, was nichtlokal bedeutet? Der verlinkte Artikel auf der Wikipedia-Seite hat mir nicht ganz geholfen, es zu verstehen.

Das Quadrieren der beiden Seiten einer Gleichung ist keine Äquivalenzoperation, nicht einmal für einfache algebraische Gleichungen (das ist Schulmathematik), weil X = 1 hat eine Lösung, aber X 2 = 1 2 hat zwei. Dass eine algebraische Funktion eines Differentialoperators nicht in gewissem Sinne ausgewertet werden kann, ist Unsinn und Wikipedia sollte das nicht sagen. Das Problem ist, dass die Auswertung dieser Wurzel zu einer unendlichen Reihe von Differentialoperatoren führen würde, die unter bestimmten Umständen als ein allgemeinerer Operator vom integralen Typ ausgedrückt werden können ... und dort wird wahrscheinlich die Nicht-Lokalität auftreten .
Wie Sie darauf hingewiesen haben, da das Quadrieren von zwei Seiten einer Gleichung keine Äquivalenzoperation ist, in welchem ​​​​Sinne ist es dann gültig, dies mit dem oben Gesagten zu tun?
In dem Sinne, dass Physik nicht Mathematik ist. Der Natur ist es egal, welche Art von mentalem Prozess Sie verwenden, um die richtige Gleichung zu erraten, solange die Gleichung Lösungen hat, die einigermaßen richtig sind. Die Ableitung der Klein-Gordon-Gleichung besteht darin, einfach zu raten, indem man etwas, das keinen Sinn ergibt, als Gleichung nimmt und es in die Form von etwas knetet, das ein bisschen mehr Sinn ergibt. Das ist alles, was wirklich hinter diesem "Mysterium" steckt.
Also ist diese ganze Ableitung, die das Quadrieren beinhaltet, im Wesentlichen nur eine Heuristik, um eine Gleichung zu finden, die dann mit Experimenten überprüft wird, um zu sehen, wie gut sie zusammenpasst? Ist die Dirac-Gleichung deshalb eine "alternative" relativistische Form der Schrödinger-Gleichung?
Du hast es. Alle Bewegungsgleichungen sind das Ergebnis schwerer Vermutungen. Sie sind natürlich nicht beliebig, schließlich wollen wir schöne Eigenschaften wie Energieerhaltung, Kausalität, Invarianz unter Symmetriegruppen, Existenz eines Grundzustandes, Stabilität... die Liste der notwendigen technischen Kriterien ist wohl recht umfangreich. Ich denke nicht, dass es richtig ist zu sagen, dass Dirac eine relativistische Version von Schrödinger ist. Es ist eine relativistische Gleichung unter vielen anderen und passt historisch in den Zeitrahmen, aber wir erfinden immer noch neue relativistische Gleichungen ... und keine davon ist perfekt.
Und die "perfekteste" Version ist einfach QFT, die nicht einmal wirklich eine Schrödinger-Gleichung hat, oder?
Hängt davon ab, was Sie unter "Schrödinger-Gleichung" verstehen. Theoretisch kann man QFT in etwas packen, das formal wie die Schrödinger-Gleichung aussieht (aber es ist nicht DIE Schrödinger-Gleichung für einzelne Teilchen), und meines Wissens ist diese "Form" für tatsächliche Berechnungen nicht so nützlich. Ich denke, die problematischeren Fälle von Quantenfeldtheorien sind diejenigen, die (zumindest noch) nicht einmal eine einfache Gleichung haben. Man kann zum Beispiel die Störungseigenschaften eines Systems ziemlich gut im Griff haben, ohne die explizite Lagrange-Funktion überhaupt zu kennen.
@CuriousOne, "sie sagen", dass die funktionale Schrödinger-Gleichung für bestimmte Störungsberechnungen nützlich ist, aber - wie Sie andeuten - ihre Nützlichkeit kann zweifelhaft sein (siehe z. B. Brian Hatfields Kapitel Quantum Field Theory of Point Particles and Strings über die Funktion ). Schrödinger-Bild, wenn es bei Störungsberechnungen nützlich ist).
@AlexNelson: Ich bin kein Theoretiker und kann wirklich nichts Nützliches darüber sagen, wie man Berechnungen im Detail durchführt. Ich denke, es besteht Einigkeit darüber, dass alle aktuellen Formulierungen der QFT immer noch unter schwerwiegenden mathematischen Problemen leiden, aber angesichts des Erfolgs der Theorie kann sie meiner Meinung nach selbst in diesem Zustand nicht völlig schlecht definiert sein. Es muss eine Version davon geben, die alle Probleme bereinigt und in ihrem Lösungsraum im Wesentlichen mit dem identisch ist, was wir jetzt tun.

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Zweitens, warum ist es umständlich, mit der ersten Differentialgleichung zu arbeiten? Es scheint tatsächlich einfacher zu sein, damit zu arbeiten, da der Operator unter der Quadratwurzel in Bezug auf eine Taylor-Reihe erweitert werden könnte und Sie dann eine Gleichung erster Ordnung in der Zeit haben.

Nun, die Taylor-Reihen für Operatorausdrücke machen nur dann wirklich Sinn, wenn sie überall konvergieren (z. B. exp ⁡ ( ∂ X ) als Reihenausdruck sinnvoll)...modulo technische Details.

Die Quadratwurzel hat für keinen Operator einen schönen Reihenausdruck ... es funktioniert für normale Operatoren .

Was passiert also mit dieser Quadratwurzelversion der KG-Gleichung? Wir nehmen einfach die Fourier-Transformation des Ausdrucks

∫ ( k 2 − M 2 ) F ^ ( k ) e ich k X D 4 k = 0.

Beachten Sie dann, dass wir den Operator be haben ( k 2 − M 2 ) . Also, hey, presto, nimm seine Quadratwurzel! Wir bekommen

∫ k 2 − M 2 F ^ ( k ) e ich k X D 4 k = 0.

Dann ... nun, dann ist es mühsam, damit zu arbeiten. Warum? Weil all unsere schönen Werkzeuge aus der linearen Algebra nicht wirklich gut funktionieren. Mein nächstes Werkzeug, Obszönität, bringt auch keine großen Ergebnisse :\

Nachtrag: Ich dachte, ich sollte einige Links dazu hinzufügen, weil es Leute gibt, die darüber recherchieren. (Diese von mir skizzierte Methode beschreibt die Behandlung der Quadratwurzel der Klein-Gordon-Gleichung mit Pseudodifferentialoperatoren . )

  • Claus Lämmerzahl, "Der Pseudodifferentialoperator Quadratwurzel der Klein-Gordon-Gleichung". J. Math. Phys. 34 9 (1993), 3918-3932, doi:10.1063/1.530015
  • J. Sucher, "Relativistische Invarianz und die Quadratwurzel-Klein-Gordon-Gleichung". J. Math. Phys. 4 17 (1963); doi:10.1063/1.1703882

Ich bin mir sicher, dass Sie von dort aus den Verweisen folgen können, wohin Sie wollen.

Und zum Schluss, kann jemand näher erläutern, was nichtlokal bedeutet? Der verlinkte Artikel auf der Wikipedia-Seite hat mir nicht ganz geholfen, es zu verstehen.

So wie ich es verstehe (und jemand wird mich wahrscheinlich korrigieren, wenn ich falsch liege), bedeutet dies allgemein, dass das Feld an einem Punkt von seinem Wert an anderen räumlich getrennten Punkten abhängt. Es bohrt unser intuitives Verständnis von Ursache und Wirkung.

Wenn wir unendlich viele Ableitungen haben, bekommen wir dieses Problem. Warum?

Nun, betrachten wir einen Spezialfall: die Taylor-Entwicklung. Wir haben

F ( X + H ) = F ( X ) + H F ' ( X ) + ⋯ = exp ⁡ ( H ∂ X ) F ( X )

Wo exp ⁡ ( H ∂ X ) = 1 + H ∂ X + ⋯ ist ein Ausdruck mit unendlich vielen Ableitungen. Wir erhalten dann eine Beziehung zwischen Werten an zwei verschiedenen Punkten ( X Und X + H ).

Allgemeiner könnten wir jeden Operator mit unendlich vielen Ableitungen betrachten, nicht nur exp ⁡ ( H ∂ / ∂ X ) .

Sehr hilfreiche Antwort. Ihr letztes Beispiel - würde das bedeuten, dass die Reihenentwicklung (in Matrixdarstellung) des Zeitentwicklungsoperators U = exp (-iHt / ћ) ebenfalls nicht lokal ist, wenn H den Gradienten beinhaltet?
@Nick, in gewissem Sinne könnten Sie sich die einheitliche Zeitentwicklung als "nicht lokal in der Zeit" vorstellen, die den Zustand zur Zeit betrifft T 0 mit dem Staat zu der Zeit T + T 0 . Das ist nicht schlimm, es ist physikalisch erlaubt. Das Problem ist, wenn die Nichtlokalität die Bedingung verletzt [ φ ( X ) , φ ( j ) ] = 0 für raumhaft X , j .

Auf der rechten Seite haben wir eine Quadratwurzel eines Operators. Es ist möglich, die Quadratwurzel eines Operators (dh die Quadratwurzel einer Matrix) zu ziehen, und es gibt eine Reihe von Theorien in der linearen Algebra und der Spektraltheorie, die sich auf diese Möglichkeit beziehen, aber die Frage ist, wie dies physikalisch zu interpretieren ist, da a Matrix hat mehrere Quadratwurzeln, die selbst Matrizen sind.

Eine mögliche Interpretation ist eine Taylor-Reihenentwicklung, wie Sie richtig sagen, aber wir erhalten dann einen Hamilton-Operator mit Ableitungen beliebig hoher Ordnung. Die beiden Standardansätze bestehen offensichtlich darin, beide Seiten zu quadrieren und die Klein-Gordon-Gleichung zu erhalten oder einfach einen Hamilton-Operator vorzuschlagen, der im Impuls linear und gleich dem Quadrat der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung ist: Dies führt zur Dirac-Gleichung. Wenn Sie den letzteren Ansatz wählen, ist eine Lösung der Gleichung nicht nur eine Funktion und muss vier Komponenten haben.

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