Delokalisierung in der Quadratwurzelversion der Klein-Gordon-Gleichung

In diesem Wikipedia-Artikel wird eine relativistische Wellengleichung unter Verwendung des Hamilton-Operators hergeleitet

H = P 2 C 2 + M 2 C 4
Das Einsetzen in die Schrödinger-Gleichung ergibt die Quadratwurzelversion der Klein-Gordon-Gleichung:
( ( − ich ℏ ∇ ) 2 C 2 + M 2 C 4 ) ψ = ich ℏ ∂ ∂ T ψ
Dann heißt es im Artikel:

Ein weiteres, weniger offensichtliches und schwerwiegenderes Problem besteht darin, dass es sich als nichtlokal erweisen und sogar die Kausalität verletzen kann: wenn das Teilchen anfänglich an einem Punkt lokalisiert ist R 0 so dass ψ ( R 0 , T = 0 ) an anderer Stelle endlich und null ist, dann sagt die Gleichung zu jedem späteren Zeitpunkt eine Delokalisierung voraus ψ ( R , T ) ≠ 0 überall, sogar für R > C T was bedeutet, dass das Teilchen an einem Punkt ankommen könnte, bevor ein Lichtimpuls es könnte.

Was ist diese Lösung explizit? Ich habe auch diese Phys.SE-Frage gelesen, aber es gibt keinen Hinweis auf meine Frage.

Ich denke, diese Frage ist verwandt mit physical.stackexchange.com/q/195143

Antworten (1)

Aus Peskin & Schroeder S.14:
Ausbreitungsamplitude

Sie berechnen es dann asymptotisch und beziehen sich auf: Gradshteyn und Ryzhik (1980), #3.914 für eine exakte Lösung . Bei
der Suche nach dieser Referenz stoßen wir auf: #3.914, 6: (Available here )
Berechnung
Where K 2 ist die modifizierte Bessel-Funktion.

diese Lösung ist auch eine Lösung der Klein-Gordon-Gleichung. Das würde also bedeuten, dass die Standard-Klein-Gordon-Gleichung auch nicht lokal ist. habe ich recht?
„Die Quantenfeldtheorie löst das Kausalitätsproblem auf wunderbare Weise, was wir in Abschnitt 2.4 besprechen werden. Wir werden feststellen, dass in der Mehrteilchenfeldtheorie die Ausbreitung eines Teilchens über ein raumartiges Intervall nicht von der Ausbreitung eines Antiteilchens in der entgegengesetzten Richtung zu unterscheiden ist siehe (Abb. 2.1). Wenn wir fragen, ob eine am Punkt x gemachte Beobachtung eine am Punkt x gemachte Beobachtung beeinflussen kann, werden wir feststellen, dass sich die Amplituden für die Teilchen- und Antiteilchenausbreitung genau aufheben – also die Kausalität erhalten bleibt.“ - Später aus P&S übernommen.
Die Lösung verschwindet nicht außerhalb des Lichtkegels, und daher ist die Lösung nicht lokal, aber aufgrund von Antiteilchen bleibt die Kausalität erhalten.
Aber das wäre auch ein Problem für die KG-Gleichung.
Wenn die Kausalität erhalten bleibt, ist das kein so großes Problem.
Aber (laut Buch) wird das Kausalitätsproblem mit QFT gelöst. Meine Frage bezieht sich nur auf die Gleichungen. KG-Gleichung (die zeitliche und räumliche Ableitungen zweiter Ordnung ist) und die Quadratwurzelversion. Einige Leute nennen sie lokal bzw. nicht lokal.
Die KG-Gleichung lässt also auch eine nichtlokale Lösung zu.
Die KG-Gleichung selbst hat dieses Problem, so viel ist wahr. Bei Verwendung in QFT bleibt die Kausalität jedoch erhalten. Während also die Gleichung selbst dieses Problem hat, wird es später gelöst.
Delokalisierung in der Quadratwurzelversion der Klein-Gordon-Gleichung
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