Nichtlokalität des Weltraums - QFT (Buch von Srednicki)

Wenn Sie einen Standard-Differentialoperator betrachten$B$Arbeiten an Funktionen, die in definiert sind$\mathbb R^n$, wie$\partial/\partial x_i$oder ein Polynom partieller Ableitungen, und wähle eine hinreichend glatte Funktion aus$f$in einer Nachbarschaft verschwinden$\Omega$, das sieht man auch$Bf$darin verschwindet. Dies ist der relevante Begriff der Lokalität für Operatoren.

In der rechten Seite der Gleichung, die Sie aufgeschrieben haben, taucht ein Operator auf, der die Lokalität im genannten Sinne nicht erfüllt. Diese Gleichung ist tatsächlich die Gleichung, die durch die positiven Energielösungen der Klein-Gordon-Gleichung erfüllt wird.

Der Operator im RHS kann nicht durch formale Taylor-Entwicklung definiert werden (es funktioniert nur formal), sondern man muss die Spektraltheorie verwenden. Im betrachteten Fall ist es äquivalent, diese Gleichung in Fourier-Transformation zu übersetzen.

Nichtlokalität entsteht hier aufgrund einer bekannten Eigenschaft des Betreibers$A:= \sqrt{-\Delta + aI}$und allgemeiner z$(\Delta + aI)^\nu$mit$\nu \not \in \mathbb Z$. Diese Eigenschaft wird als Antilokalität bezeichnet (IE Segal, RW Goodman, J. Math. Mech. 14 (1965) 629) und ist mit der berühmten Reeh- und Schlieder-Eigenschaft in QFT verwandt.

Anti-Lokalität bedeutet, dass beides der Fall ist$f$Und$Af$verschwinden in einem begrenzten Bereich$\Omega \subset \mathbb R^3$Dann$f$ist überall Null.

Wenn$f$hat eine Unterstützung, die in einer begrenzten offenen Menge enthalten ist$\Omega$, dann bemerkenswert und ganz anders als bei Standard-Differentialoperatoren ,$Af$ verschwindet nicht identisch nach außen$\Omega$ansonsten$f$wäre die überall Nullfunktion.