Warum erlaubt die Klein-Gordon-Gleichung keine Wahrscheinlichkeitserhaltung?

Ich kann Ihre Frage noch nicht kommentieren, aber um sie aus dem "unbeantworteten" Papierkorb zu entfernen, werde ich den Beweis aus dem von @JohnRennie verlinkten PDF eingeben. Ich bin mir nicht sicher, ob meine Berechtigungen zum Markieren von Benutzern noch vorhanden sind, aber ich hoffe, er wird irgendwie benachrichtigt (ich habe versucht, ihn zu markieren, und es scheint nicht zu funktionieren).

Die Klein-Gordon-Gleichung mit richtigen Einheiten lautet also:

$$\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \psi - \nabla^2 \psi + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \psi = 0$$

Wenn wir die Lösungen interpretieren$\psi(x)$als Wahrscheinlichkeitsamplituden benötigen wir eine Wahrscheinlichkeitsdichte,$\rho(x)$, und aktuell,$\vec{j} (x)$, die die Kontinuitätsgleichung erfüllen (und natürlich haben wir eine Normalisierung usw. usw.)

In diesem Fall definieren wir:

$$j^0 (x) \equiv c \rho(x)$$ Und $$j^\mu (x) \equiv ( j^0 (x), \vec{j} (x) )$$ Und wie üblich kann die Kontinuitätsgleichung neu ausgedrückt werden als $$\partial_\mu j^\mu (x) =0$$ In einem relativistischen Kontext wie diesem gilt: $$j^\mu \equiv \frac{i \hbar}{2m} \psi^* \overleftrightarrow{\partial^\mu} \psi$$ Wo $A \overleftrightarrow{\partial^\mu} B \equiv A(\partial^\mu B) -(\partial^\mu A) B$. In Anbetracht der Viererdivergenz dieses Stroms, $$\partial_\mu j^\mu (x) = \frac{i \hbar}{2m} \partial_\mu \left( \psi^* \overleftrightarrow{\partial^\mu} \psi \right)$$ $$= \frac{i \hbar}{2m} \left[ \psi^* ( \Box \psi ) - ( \Box \psi^* ) \psi \right]$$ Für ein $\psi$was die Klein-Gordon-Gleichung erfüllt, ist es klar, dass dies Null ergibt.

Das aktuelle Problem dabei ist, dass die Dichte, die wir verwendet haben,$j^0$ist nicht positiv definit.

$$\rho = \frac{1}{c} j^0 = \frac{i \hbar}{2mc} \partial_\mu \left( \psi^* \overleftrightarrow{\partial^0} \psi \right)$$ $$= \frac{i \hbar}{2mc^2} \left[ \psi^* ( \partial_t \psi ) - ( \partial_t \psi^* ) \psi \right]$$ Was natürlich nicht immer nicht negativ ist.

Hoffe, das ist hilfreich für alle, die das später finden!