Propagator ohne den Epsilon-Trick auswerten

Bevor ich die Frage mehr oder weniger direkt beantworte, möchte ich darauf hinweisen, dass dies eine gute Frage ist, die einen Anschauungsunterricht liefert und einen Ausflug in die Themen singuläre Integralgleichungen , analytische Fortsetzung und Dispersionsbeziehungen eröffnet . Hier sind einige Referenzen zu diesen fortgeschritteneren Themen: Muskhelishvili, Singular Integral Equations ; Courant & Hilbert, Methoden der mathematischen Physik, Band I , Kapitel 3; Dispersionstheorie in der Hochenergiephysik, Queen & Violini; Eden et al., The Analytic S-Matrix . Es gibt auch eine gekürzte Diskussion über „invariante Funktionen“ in Schweber, An Intro to Relativistic QFT Ch13d .

Die schnelle Antwort ist, dass z$m^2 \in\mathbb{R}$, es gibt keine "Abkürzung". Man muss einen Weg um die Singularitäten im Nenner wählen . Die geeignete Wahl richtet sich nach den Randbedingungen des vorliegenden Problems. Das$+i\epsilon$"Trick" (es ist kein "Trick") codiert einfach die Randbedingungen, die für die kausale Ausbreitung von Teilchen und Antiteilchen in der Feldtheorie relevant sind.

Wir untersuchen kurz die analytische Form von$G(x-y;m)$um einige dieser Funktionen zu demonstrieren.

Beachten Sie zunächst, dass für reale Werte von$p^2$, signalisiert die Singularität im Nenner des Integranden das Vorhandensein von (einem) Verzweigungspunkt(en). Tatsächlich [Huang, Quantum Field Theory: From Operators to Path Integrals , p29] kann der Feynman-Propagator für das Skalarfeld (Ihre Gleichung) explizit ausgewertet werden:

$$\begin{align} G(x-y;m) &= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip\cdot(x-y)}}{p^2 - m^2 + i\epsilon} \nonumber \\ &= \left \{ \begin{matrix} -\frac{1}{4 \pi} \delta(s) + \frac{m}{8 \pi \sqrt{s}} H_1^{(1)}(m \sqrt{s}) & \textrm{ if }\, s \geq 0 \\ -\frac{i m}{ 4 \pi^2 \sqrt{-s}} K_1(m \sqrt{-s}) & \textrm{if }\, s < 0. \end{matrix} \right. \end{align}$$ wo $s=(x-y)^2$.

Die Hankel-Funktion erster Ordnung erster Art$H^{(1)}_1$hat einen logarithmischen Verzweigungspunkt bei$x=0$; ebenso die modifizierte Bessel-Funktion zweiter Art,$K_1$. (Schau dir das kleine an$x$Verhalten dieser Funktionen, um dies zu sehen.)

Ein Verzweigungspunkt zeigt an, dass die Cauchy-Riemann-Bedingungen zusammengebrochen sind$x=0$(oder$z=x+iy=0$). Und die Tatsache, dass diese Singularitäten logarithmisch sind, ist ein Hinweis darauf, dass wir eine Endpunkt-Singularität haben [zB. Eden et. al., Kap. 2.1]. (Um dies zu sehen, bedenke$m=0$, dann der Integrand,$p^{-2}$, hat eine Null an der unteren Integrationsgrenze in$dp^2$.)

Um auf die Frage der Randbedingungen zurückzukommen, gibt es eine gute Diskussion in Sakurai, Advanced Quantum Mechanics , Kapitel 4.4 [Anmerkung: „Ostküsten“-Metrik]. Sie können das für große Werte von sehen$s>0$aus dem obigen Ausdruck, dass wir eine ausgehende Welle von der asymptotischen Form der Hankel-Funktion haben.

Verbinden Sie es mit den ursprünglichen Referenzen, die ich oben zitiert habe, dem$+i\epsilon$Form ist eine Version der Plemelj-Formel [Muskhelishvili]. Und der Ausdruck für den Propagator ist eine Art Cauchy-Integral [Musk.; Eden et al.]. Und diese Gedanken führen schnell zu den Themen, die ich oben erwähnt habe – sicherlich eine reiche Landschaft für die Forschung.

Erweiterung des Kommentars von dmckee:

Das$+i\epsilon$-Trick hat den Segen von OCD-Mathematikern, weil er direkt aus einer tiefen Tatsache über die Gruppe der Raumzeit-Übersetzungen folgt: die Gruppe$\{e^{-i\langle P,x\rangle/\hbar}| x \in \mathbb{R}^n\}$der Raumzeittranslationen ist die Grenze einer analytischen Halbgruppe$\{e^{-i\langle P,\xi\rangle/\hbar}| x \in \mathbb{C}^n \mbox{ and } Im(\xi) \leq 0\}$.

Viele Größen in der Feldtheorie werden in Form dieser Übersetzungen ausgedrückt, und häufig können diese Größen einfacher berechnet werden, indem man analytisch von der realen „Minkowski“-Zeit zur imaginären „euklidischen“ Zeit fortfährt, wo die feine Aufhebung von Phasen zur groben Unterdrückung von Exponentialen wird Dämpfung. Wenn Sie die verwenden$+i\epsilon$-trick, was Sie wirklich tun, ist zu sagen, dass die bestimmte Aufhebung von Phasen, die Sie wollen, diejenige ist, die diese Analytizität respektiert. Genau das passiert, wenn Sie die verwenden$+i\epsilon$-Trick zur Auswertung des Klein-Gordon-Propagators. Sie haben ein Integral, das nicht absolut konvergiert, und Sie wählen eine bestimmte Zusammenfassung aus, die dies tut. Das$+i\epsilon$ist hier nicht nur ein Trick; Es ist wirklich die Definition der Menge, nach der Sie suchen.

Soweit meine Erfahrung reicht, ergibt sich das Problem aus dem Schreiben der richtigen Lösung für alle reellen Zahlen des Problems:

$$(p-m)G(p)=1.$$ was lautet: $$G(p)=\text{P.v.} \frac {1}{p-m}+c_0\delta(p-m)$$ wo $\text{P.v.}$steht für Hauptwert. Das $\delta(\epsilon-\omega)$Funktion erscheint, als wäre es der Kernel von $(\omega-\epsilon)$und $c_0$ist eine Konstante, die behoben werden muss. Wenn wir nun die Fourier-Transformation nehmen, erhalten wir: $$\int e^{ipt }G(p)=\:\left( i\pi \text{sign}(t)+c_0\right)e^{i m t}$$ $c_0$muss jetzt je nach Randbedingungen fixiert werden; für die verzögerten und fortgeschrittenen grünen Funktionen hat man $c_0=\pm i\pi$und die Lösung von gegeben $i \epsilon$Trick wird wiederhergestellt. Meiner Meinung nach ist es jedoch eine ziemlich schlechte Methode, da es nur funktioniert, wenn Sie Pole oder erste Ordnung haben, da die $\delta$Funktion kann durch quadratintegrierbare Funktionen angegangen werden. Wenn Sie jetzt nach der Lösung von suchen: $$(p-m)^kG(p)=1.$$ mit k eine ganze Zahl, haben Sie jetzt $$G(p)=\text{P.v.} \frac {1}{(p-m)^k}+\sum_{j=0}^kc_j\delta^{(j)}(p-m)$$ mit $\delta^{(k)}$die k-te Ableitung der Delta-Funktion. Die Fourier-Transformation lautet $$G(t)=\left( i\pi \frac{(i t)^{k-1}}{k-1!}\text{sign}(t)+\sum_{j=0}^kc_j (-it)^j\right)e^{i m t}$$ Und wieder die $c_j$s werden je nach Randbedingungen festgelegt. Ich kenne jedoch keine Möglichkeit, diese Lösung mit dem wiederherzustellen $i\epsilon$Trick.