Wie leitet man diesen Ausdruck für das freie Skalarfeld in QFT ab? (Peskin & Schröder)

Question

Wie leitet man diesen Ausdruck für das freie Skalarfeld in QFT ab? (Peskin & Schröder)

Physik
Fourier-Transformation
harmonischer Oszillator
Quantenfeldtheorie
Klein-Gordon-Gleichung

Pxx

Im Einführungstext zur Quantenfeldtheorie von Peskin & Schroeder stellen sie fest, dass in Analogie zum einfachen harmonischen Oszillator in der Quantenmechanik das freie Skalarfeld ausgedrückt werden kann als:

\begin{matrix} (2.25) & ϕ (\vec{X}) = \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 ω_{P}}} (A_{P} e^{ich \vec{P} \cdot \vec{X}} + A_{P}^{†} e^{- ich \vec{P} \cdot \vec{X}}) \end{matrix}

$\phi(\vec{x}) = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 \omega_p}} \left( a_p e^{i \vec{p}\cdot\vec{x}} + a^{\dagger}_p e^{-i \vec{p}\cdot\vec{x}} \right) \tag{2.25}$

In der Quantenmechanik $\phi$ würde geschrieben werden als:

ϕ = \frac{1}{\sqrt{2 ω_{P}}} (A + A^{†})

$\phi = \frac{1}{\sqrt{2 \omega_p}} \left( a + a^{\dagger} \right)$

Ich sehe die Ähnlichkeiten zwischen den beiden Ausdrücken sowie die Tatsache, dass man das freie Klein-Gordon-Feld erweitern kann als:

\begin{matrix} (2.20b) & ϕ (\vec{X}, T) = \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} e^{ich \vec{P} \cdot \vec{X}} ϕ (\vec{P}, T) . \end{matrix}

$\phi(\vec{x},t) = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} e^{i \vec{p}\cdot\vec{x}} \phi(\vec{p},t).\tag{2.20b}$

Ich verstehe jedoch nicht, wie ich den oben angegebenen endgültigen Ausdruck erreichen soll, insbesondere die Exponentialfunktion mit negativem Vorzeichen im zweiten Term. Es ist wahrscheinlich nur eine Kleinigkeit, die ich nicht sehe, aber ich wäre dankbar, wenn mir jemand einen Hinweis geben könnte.

AccidentalFourierTransform

verwandt: Eine Frage zur Verwendung der Fourier-Zerlegung zur Lösung der Klein-Gordon-Gleichung und darin enthaltener Links.

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JG · Answer 1

Ich übernehme die Abkürzung $kx:=k_0x^0-\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}$ . Die Klein-Gordon-Gleichung $(\square +m^2)\phi=0$ kann durch eine Fourier-Transformation gelöst werden. Schreiben $\phi(x)=\int d^4ke^{-ikx}\tilde{\phi}(k)$ wir bekommen $(k^2-m^2)\tilde{\phi}(k)=0$ , dh $\tilde{\phi}(k)=\tilde{\varphi}(k)\delta(k^2-m^2)$ für irgendeine Funktion $\tilde{\varphi}(k)$ . Verwenden

δ (k^{2} - M^{2}) = \frac{δ (k_{0} - ω_{k}) + δ (k_{0} + ω_{k})}{2 ω_{k}}

$\delta(k^2-m^2)=\dfrac{\delta(k_0-\omega_\mathbf{k})+\delta(k_0+\omega_\mathbf{k})}{2\omega_\mathbf{k}}$ gibt

ϕ (X) = \int \frac{D^{3} k}{(2 π)^{3} 2 ω_{k}} (A_{+} (k) e^{- ich k X} + A_{-}^{*} (k) e^{ich k X})

$\phi(x)=\int\dfrac{d^3k}{(2\pi)^32\omega_\mathbf{k}}(a_+(k)e^{-ikx}+a_-^\ast(k)e^{ikx})$ mit

A_{+} (k) := (2 P ich)^{3} \tilde{φ} (ω_{k}, k), A_{-} (k) := (2 P ich)^{3} {\tilde{φ}}^{*} (- ω_{k}, k) .

$a_+(k):=(2pi)^3\tilde{\varphi}(\omega_\mathbf{k},\,\mathbf{k}),\,a_-(k):=(2pi)^3\tilde{\varphi}^\ast(-\omega_\mathbf{k},\,\mathbf{k}).$ Wirklich

ϕ

$\phi$ ,

a_{-} = a_{+}^{†}

$a_-=a_+^\dagger$ , so definierend

a := a_{+}

$a:=a_+$ Wir sind fertig. (Sie haben einen Fehler

\sqrt{}

$\sqrt{}$ unterschreiben Sie den Lorentz-invarianten Integrationsoperator.) Beachten Sie insbesondere Ihre

e^{i k \cdot x}

$e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}$ Koeffizient von

a_{k}

$a_k$ Ist

e^{i (k_{0} x^{0} - k x)}

$e^{i(k_0x^0-kx)}$ , aber ich habe die absorbiert

e^{i k_{0} x^{0}}

$e^{ik_0x^0}$ Faktor in meiner Definition von

a_{k}

$a_k$ um die Lorentz-Invarianz des obigen Ergebnisses manifest zu machen.

vielen Dank für deine Antwort, das ist sehr deutlich! Sind Sie sicher, dass es sich um einen Fehler handelt? $\sqrt{}$ ? Bei Peskin scheint es da zu sein (Gl. 2.25, Seite 21), mit $\omega_p = \sqrt{p^2 + m^2}$ . Oder verstehe ich vielleicht falsch, was du meinst?
Ich habe noch eine Frage zu dem von Ihnen angegebenen Ergebnis $\tilde{phi}(k)$ In Ihrem ersten Absatz: Ist das Integral wirklich da oder ist es nur gleich einer Funktion mal der Delta-Funktion?
@Julien (i) Ich beziehe mich auf deine erste Gleichung $\dfrac{1}{\sqrt{2\omega_\mathbf{k}}}$ . Die Frequenz ist natürlich schon eine Quadratwurzel. Die Leistungszählung meiner Antwort basiert auf S. 47/8 hier . (ii) Ah, das war ein Fehler, den ich jetzt behoben habe. Da gibt es eine lustige Geschichte: Als ich ursprünglich die Antwort geschrieben habe, habe ich versehentlich ein oder zwei integrale Zeichen übersehen, aber ich habe es offensichtlich übertrieben, es an Stellen zu setzen.
Danke für deine Antwort! Das ist seltsam, in Peskin und in David Tongs Notizen gibt es tatsächlich eine Quadratwurzel, obwohl ich sehen kann, dass es in Ihrem Link keine gibt, und ich Ihre Argumentation höre. Ich habe keinen Link zu Peskin, aber die Vorlesungen von D. Tong (die Sie hier finden können: damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/qft.pdf ) basieren meines Erachtens auf Peskin (siehe 2.18 Seite 23).
Nun, wir brauchen die zusätzliche Quadratwurzel definitiv nicht. Wie hier erklärt wurde , ist es nur die $1/k_0$ Faktor aus dem Dirac-Delta in meiner Antwort oben.
Die Quadratwurzel (oder deren Fehlen) entspricht unterschiedlichen Konventionen (einige Autoren definieren neu $a\to \sqrt{2\omega} a$ ). Beide Konventionen sind vollkommen in Ordnung.
@AccidentalFourierTransform Danke für die Klarstellung dieses Punktes. Das ist jetzt alles klar.
Eigentlich habe ich noch ein Problem, das mir vorher nicht aufgefallen ist: Wenn ich die Summe der Dirac-Delta-Funktionen in das Integral der Fourier-Transformation einfüge, bekomme ich: $ϕ (X) \propto \int D^{3} k \frac{1}{2 ω_{k}} (e^{ich k X} δ (k_{0} - ω_{k}) + e^{ich k X} δ (k_{0} + ω_{k})) φ (k) = \int D^{3} k \frac{1}{2 ω_{k}} (e^{ich (ω_{k} T - \vec{k} \cdot \vec{X})} φ (ω_{k}, \vec{k}) + e^{ich (- ω_{k} T - \vec{k} \cdot \vec{X})} φ (- ω_{k}, \vec{k}))$ $\phi(x) \propto \int d^3 k \frac{1}{2\omega_k} \left(e^{i kx} \delta(k_0 - \omega_k) + e^{i kx} \delta(k_0 + \omega_k) \right) \varphi(k) = \int d^3 k \frac{1}{2\omega_k} \left(e^{i (\omega_k t - \vec{k}\cdot\vec{x})} \varphi(\omega_k, \vec{k}) + e^{i (-\omega_k t - \vec{k}\cdot\vec{x})} \varphi(-\omega_k, \vec{k}) \right)$ . Mein Problem hängt mit den Exponentialen zusammen: Der 1. Term ist in Ordnung, aber wie wendet sich der 2. Term an $e^{-i kx}$ ?
Ah, egal, dieser Schritt wird von @AccidentalFourierTransform in dem Link erklärt, den er im Kommentar der Frage gepostet hat.

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