Quantenfeldtheorie: Feldoperatoren im Sinne von Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren

Question

Quantenfeldtheorie: Feldoperatoren im Sinne von Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren

Physik
Fourier-Transformation
Quantenmechanik
harmonischer Oszillator
Quantenfeldtheorie
Klein-Gordon-Gleichung

SuperCiocia

Ich lerne Quantenfeldtheorie und es gibt einen Schritt in meinen Notizen, den ich nicht wirklich verstehe.

Es beginnt mit den klassischen Positionsdefinitionen $q$ und Schwung $p$ :

Q = \frac{1}{\sqrt{2 ω}} (A + A^{†})

$q = \frac{1}{\sqrt{2\omega}}(a+a^{\dagger})$ Und

P = - ich \sqrt{\frac{ω}{2}} (A - A^{†}) .

$p = -i\sqrt{\frac{\omega}{2}}(a-a^{\dagger}).$

$a$ Und $a^{\dagger}$ die Vernichtungs- und Schöpfungsoperatoren sind.

Dann definiert es die Feldoperatoren $\phi(\mathbf{x})$ Und $\pi(\mathbf{x})$ , gleichwertig $q$ Und $p$ , auf die folgende Weise:

ϕ (X) = \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 ω_{P}}} [A_{P} e^{ich P \cdot X} + A_{P}^{†} e^{- ich P \cdot X}]

$\phi(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}}[a_{\mathbf{p}}e^{i\mathbf{p}\cdot{\mathbf{x}}} + a_{\mathbf{p}}^{\dagger}e^{-i\mathbf{p}\cdot{\mathbf{x}}}]$

Und

π (X) = \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} (- ich) \sqrt{\frac{ω_{P}}{2}} [A_{P} e^{ich P \cdot X} - A_{P}^{†} e^{- ich P \cdot X}] .

$\pi(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}(-i)\sqrt{\frac{\omega_{\mathbf{p}}}{2}}[a_{\mathbf{p}}e^{i\mathbf{p}\cdot{\mathbf{x}}} - a_{\mathbf{p}}^{\dagger}e^{-i\mathbf{p}\cdot{\mathbf{x}}}].$

Gibt es eine offensichtliche Beziehung zwischen den beiden Ausdrücken? Welche mathematischen und physikalischen Annahmen wurden getroffen?

Antworten (1)

Quantenfeldtheorie: Feldoperatoren im Sinne von Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren

Andrew McAddams · Answer 1

Bei dir scheint ein Fehler vorzuliegen $\pi (x)$ Ausdruck: Es muss ein Minuszeichen in der Nähe sein $\hat{a}^{\dagger}$ .

Die Beziehung zwischen Klassik und Feld ist seit Lagrangian (Hamiltonian) of Free offensichtlich $\varphi$ (das ist nicht schwer zu sehen $\varphi$ erfüllt die Klein-Gordon-Gleichung) Feld kann als Lagrangian des freien Ossilators in Bezug auf umgeschrieben werden $\hat{\varphi} , \hat{\pi} = \dot{\hat{\varphi}}$ die in Ihrer Frage eingeführt wurden. Der Unterschied zwischen "klassischen" und Feldausdrücken für Koordinate und Impuls liegt darin begründet, dass das Feld in jedem Punkt als Satz von Oszillatoren dargestellt werden kann. Dies folgt aus dem Hamiltonian in Bezug auf $\hat{\varphi} , \hat{\pi}$ ):

L = \frac{1}{2} ((\partial_{μ} φ)^{2} - M^{2} φ^{2}) \Rightarrow \hat{H} = \int T^{00} D^{3} R = \int (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{0} φ)} \partial_{0} φ - L) D^{3} R =

$L =\frac{1}{2}\left( (\partial_{\mu}\varphi )^{2} - m^{2}\varphi^{2}\right) \Rightarrow \hat{H} = \int T^{00}d^{3}\mathbf r = \int \left(\frac{\partial L}{\partial (\partial_{0}\varphi)}\partial_{0}\varphi - L \right)d^{3}\mathbf r =$

= \frac{1}{2} \int D^{3} R (M^{2} φ^{2} + π^{2} + (\nabla φ)^{2}) .

$= \frac{1}{2}\int d^{3}\mathbf r \left( m^{2}\varphi^{2} + \pi^{2} + (\nabla \varphi )^{2}\right).$

Durch die Einführung kanonischer Relationen

[\hat{A} (P), {\hat{A}}^{†} (P^{'})] = δ (P - P^{'}), [\hat{A} (P), \hat{A} (P^{'})] = [{\hat{A}}^{†} (P), {\hat{A}}^{†} (P^{'})] = 0

$[\hat{a}(\mathbf p), \hat{a}^{\dagger}(\mathbf p')] = \delta (\mathbf p - \mathbf p '), \quad [\hat{a}(\mathbf p), \hat{a}(\mathbf p')] = [\hat{a}^{\dagger}(\mathbf p), \hat{a}^{\dagger}(\mathbf p')] = 0$ Sie erhalten eine vollständige Korrespondenz zwischen "klassischen" und "Feld"-Operatoren

\hat{x}, \hat{p}

$\hat {x}, \hat{p}$ ,

\hat{φ}, \hat{π}

$\hat{\varphi}, \hat{\pi}$ (bis Delta-Funktion

δ (x - x^{'})

$\delta (\mathbf x - \mathbf x ')$ ):

[{\hat{X}}_{ich}, {\hat{P}}_{J}] = ich δ_{ich J}, [\hat{φ} (X, T), \hat{π} (j, T)] = ich δ (X - j) .

$[\hat{x}_{i}, \hat{p}_{j}] = i\delta_{ij}, \quad [\hat{\varphi} (\mathbf x , t), \hat{\pi}(\mathbf y, t)] = i\delta (\mathbf x - \mathbf y).$

Ich habe den Tippfehler korrigiert. Könnten Sie versuchen, Ihre Antwort neu zu formulieren, vielleicht etwas detaillierter, bitte? Was meinen Sie zum Beispiel mathematisch mit "das Feld in jedem Punkt kann als Satz von Oszillatoren dargestellt werden"?
Entschuldigung, ich glaube nicht, dass das meine Frage beantwortet. Ich möchte nur wissen, wo die Ausdrücke für $\phi$ Und $\pi$ komme aus. Ich sehe eine Ähnlichkeit mit denen für $q$ Und $p$ , aber ich verstehe das Minuszeichen in der komplexen Exponentialfunktion neben nicht $a^{\dagger}$
@Harold: Das Minuszeichen wird benötigt, um die kanonische Beziehung zu erfüllen $[\hat{x}, \hat{p}] = i$ .
@Harold: Wenn es kein Minuszeichen gäbe, $\phi$ Und $\pi$ wäre proportional, also pendeln ...

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