SHO in QM und Klein-Gordon-Feld in 1+0D QFT

Question

SHO in QM und Klein-Gordon-Feld in 1+0D QFT

123hoedjevan

Das SHO im QM mit Masse $m=1$ hat Aktion

S [X] = \int D T \frac{1}{2} {\dot{X}}^{2} + \frac{1}{2} ω^{2} X^{2}

$S[x] = \int dt \frac{1}{2} \dot x^2 + \frac{1}{2}\omega^2 x^2$ Durch Integration nach Teilen sehen wir, dass dies dasselbe ist wie 1 dim Klein Gordon QFT-Aktion mit Feld

x (t)

$x(t)$ und Masse

m = ω

$m=\omega$ :

S [X] = \int D T \frac{1}{2} X (- \partial_{T}^{2} + ω^{2}) X

$S[x] = \int dt \frac{1}{2} x ( -\partial_t^2 + \omega^2 )x$ Nun können wir, wie in Abschnitt 2 dieses Artikels ( http://authors.library.caltech.edu/8383/1/BOOejp07b.pdf ) ausgeführt, den 1+0D-QFT-Feynman-Propagator in der QFT ableiten:

⟨ 0 | T X (T_{ich}) X (T_{F}) | 0 ⟩ = \frac{1}{2 ω} e^{- ich ω | T_{ich} - T_{F} |}

$\langle 0|\mathcal{T}x(t_i) x(t_f) | 0 \rangle = \frac{1}{2\omega} e^{-i\omega|t_i-t_f|}$ Da die Aktionen gleich sind, habe ich das Gefühl, dass ich dieses Ergebnis irgendwie mit der QM-Amplitude in Beziehung setzen sollte

⟨ X_{F}, T_{F} | X_{ich}, T_{ich} ⟩

$\langle x_f,t_f|x_i,t_i\rangle$ Dies ist eine ziemlich komplizierte Formel mit Sinus und Cosinus, wie sie aus dem Pfadintegral in diesem Artikel abgeleitet wird ( http://web.mit.edu/dvp/www/Work/8.06/dvp-8.06-paper.pdf ). Gibt es eine saubere Möglichkeit, diese 1D-QFT dem QM SHO zuzuordnen? Oder vom QM SHO zum 1+0D QFT?

Knzhou

Die Aktionen sind nicht die gleichen! Im QFT-Fall haben Sie auch eine integrale Überposition. Im Allgemeinen ist QM eine "0D QFT" und hat nicht annähernd genug Informationen, um die tatsächliche QFT zu beschreiben.

123hoedjevan

Nun nicht, wenn es sich um eine 1D-QFT handelt: Wenn man eine 1-Dim-QFT definiert, sollte sie nur von einem Parameter abhängen (in meinem Fall nenne ich dies

t

$t$ ) , und dann definiere ich ein bosonisches Feld, das ich nenne

x

$x$ , abhängig von

t

$t$ , dh

x (t)

$x(t)$ ist mein bosonisches Feld, das in einer Dimension (t) lebt. Die Wirkung integriert sich dann über den Grundraum der Quantenfelder, und das ist gerecht

t

$t$ . Ich bin mir also ziemlich sicher, dass dies die richtige 1D-QFT-Aktion für ein bosonisches Feld ist.

Knzhou

Entschuldigung, ich hätte mich deutlicher ausdrücken sollen. Die QHO ist eine "0+1-dimensionale" QFT mit einer Zeitdimension. Sie möchten es an eine "1 + 1-dimensionale" QFT anpassen, was nicht funktioniert.

Knzhou

Es ist einfacher, den Unterschied in der klassischen Grenze zu erkennen. Ein klassischer harmonischer Oszillator wird durch eine Funktion definiert

x (t)

$x(t)$ , gibt es jeweils nur einen Parameter. Ein klassisches 1D-Feld wird durch eine Funktion definiert

ϕ (x, t)

$\phi(x, t)$ , was völlig anders ist. QFT ist viel komplexer.

123hoedjevan

Okay, ich bin etwas verwirrt. Ein klassisches 1D-Feld sollte nur einen Grundraum von nur 1 Koordinate haben, richtig? Nicht 2. Genauso wie 4D-Felder von 4 Koordinaten abhängen. Der

x (t)

$x (t)$ ist mein bosonisches Feld, also definiere ich es neu

x \to ϕ

$x \to \phi$ , ich habe nur 1D-Feld

ϕ (x)

$\phi(x)$ Befolgung der obigen Aktion. EDIT: Wenn ich Dimension sage, meine ich

e i t h e r

$either$ räumlich oder zeitlich

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SHO in QM und Klein-Gordon-Feld in 1+0D QFT

Die Aktionen sind nicht die gleichen! Im QFT-Fall haben Sie auch eine integrale Überposition. Im Allgemeinen ist QM eine "0D QFT" und hat nicht annähernd genug Informationen, um die tatsächliche QFT zu beschreiben.
Nun nicht, wenn es sich um eine 1D-QFT handelt: Wenn man eine 1-Dim-QFT definiert, sollte sie nur von einem Parameter abhängen (in meinem Fall nenne ich dies $t$ ) , und dann definiere ich ein bosonisches Feld, das ich nenne $x$ , abhängig von $t$ , dh $x(t)$ ist mein bosonisches Feld, das in einer Dimension (t) lebt. Die Wirkung integriert sich dann über den Grundraum der Quantenfelder, und das ist gerecht $t$ . Ich bin mir also ziemlich sicher, dass dies die richtige 1D-QFT-Aktion für ein bosonisches Feld ist.
Entschuldigung, ich hätte mich deutlicher ausdrücken sollen. Die QHO ist eine "0+1-dimensionale" QFT mit einer Zeitdimension. Sie möchten es an eine "1 + 1-dimensionale" QFT anpassen, was nicht funktioniert.
Es ist einfacher, den Unterschied in der klassischen Grenze zu erkennen. Ein klassischer harmonischer Oszillator wird durch eine Funktion definiert $x(t)$ , gibt es jeweils nur einen Parameter. Ein klassisches 1D-Feld wird durch eine Funktion definiert $\phi(x, t)$ , was völlig anders ist. QFT ist viel komplexer.
Okay, ich bin etwas verwirrt. Ein klassisches 1D-Feld sollte nur einen Grundraum von nur 1 Koordinate haben, richtig? Nicht 2. Genauso wie 4D-Felder von 4 Koordinaten abhängen. Der $x (t)$ ist mein bosonisches Feld, also definiere ich es neu $x \to \phi$ , ich habe nur 1D-Feld $\phi(x)$ Befolgung der obigen Aktion. EDIT: Wenn ich Dimension sage, meine ich $either$ räumlich oder zeitlich

QMechaniker · Answer 1

Ja, es ist möglich, den QM mit einem QFT in 1+0 Dimensionen abzugleichen. Allerdings ist die Fock Vakuum $|0\rangle$ (was ein Vernichtungsoperator vernichtet wird $a|0\rangle=0$ ) hängt natürlich mit den kohärenten Zuständen zusammen

\begin{matrix} (1) & \hat{A} | z ⟩ = z | z ⟩ \end{matrix}

$\hat{a} |z\rangle~=~ z|z\rangle \tag{1}$

anstelle von Positionseigenzuständen

\begin{matrix} (2) & \hat{Q} | Q ⟩ = Q | Q ⟩ . \end{matrix}

$\hat{q} |q\rangle~=~q|q\rangle.\tag{2}$ [Natürlich ist es möglich, zwischen den verschiedenen Operatoren und Eigenzuständen zu übersetzen (1)

\leftrightarrow

$\leftrightarrow$ (2).] Daher ist es am einfachsten, die kohärente Zustandsüberlappung zu berücksichtigen

\begin{matrix} (3) & ⟨ z_{F}^{*}, T_{F} | z_{ich}, T_{ich} ⟩ \end{matrix}

$\langle z_f^{\ast},t_f | z_i, t_i \rangle \tag{3}$ anstatt dass sich der Positionsraum überlappt

\begin{matrix} (4) & ⟨ Q_{F}, T_{F} | Q_{ich}, T_{ich} ⟩ . \end{matrix}

$\langle q_f,t_f | q_i, t_i \rangle \tag{4} .$ Eine QFT 2-pt-Funktion

\begin{matrix} (5) & ⟨ 0^{*} | T [\hat{A} (T_{1}) {\hat{A}}^{†} (T_{2})] | 0 ⟩ \end{matrix}

$\langle 0^{\ast} | T[\hat{a}(t_1) \hat{a}^{\dagger}(t_2) ]|0 \rangle \tag{5}$ ist eng verwandt mit der kohärenten Zustandsüberlappung (3) mit zwei zusätzlichen Einfügungen und

z_{i} = 0 = z_{f}

$z_i=0=z_f$ . Siehe z. B. Ref.-Nr. 1 für Einzelheiten.

Verweise:

LS Braun, QFT; Abschnitte 1.7-1.8.

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