Lorentz-invariantes Integrationsmaß [geschlossen]

Hallo Ome. Wenn Sie dies noch nicht getan haben, nehmen Sie sich bitte eine Minute Zeit, um die Definition für die Verwendung des Hausaufgaben -Tags und die Phys.SE - Richtlinie für hausaufgabenähnliche Probleme zu lesen.

@Qmechanic: Ich war mir der Richtlinie nicht bewusst. Ich habe das Tag entfernt, da es kein HW ist.

Siehe auch : physical.stackexchange.com/q/53534

Das ist sicherlich eine Hausaufgabe. Fühlen Sie sich nicht erniedrigt, wenn Ihre Frage als solche markiert wird, es bedeutet wirklich, dass Ihre Frage nur die Problemlösung betrifft. Sie können Ihre Frage übrigens verbessern, indem Sie Ihre Bemühungen zeigen und eine konzeptionelle Frage stellen. Ihre Frage kann dann erneut geöffnet werden. Wenn Sie das tun, pingen Sie mich einfach hier mit "@DIMension10" an und ich würde für die Wiedereröffnung stimmen. Ich bin übrigens nicht der Downvoter.

+1 für diese Frage und Kennzeichnung des Moderators aus folgendem Grund: „Diese Frage gehört zu den wichtigen konzeptionellen (sowie technischen) Fragen und Hindernissen, die normalerweise das Verständnis von QFT behindern. Sie ist sicherlich für eine breite Öffentlichkeit nützlich! "

Lassen Sie mich nun klarstellen, warum dies von großer konzeptioneller Bedeutung und Subtilität ist: Es scheint zunächst, dass man sich integriert $\mathbb{R}^3$die üblichen Vektorräume. Das macht Sinn, aber erstens ist es kein stabiler Unterraum von $\mathbb{R}^4$unter Boosts und zweitens wäre das Maß nicht unveränderlich. (Ich schlage vor, dass die Personen, die die Frage geschlossen haben, das Bildmaß explizit aufschreiben). Der entscheidende Punkt ist, dass man auf einer Lorentz-invarianten Untermannigfaltigkeit integriert (die Menge der 4-Vektoren $k^{\mu}$so dass $k^{\mu} k_{\mu}=m^2$). Jetzt sehen wir also, dass wir es mit der Integration von...

eine Funktion auf einer dreidimensionalen Untermannigfaltigkeit von $\mathbb{R}^4$. Die zweite Schwierigkeit besteht darin, dass das Lebesgue-Maß auf dem letzteren Raum ein Maß auf der Untermannigfaltigkeit induziert. Von hier an kenne ich die mathematischen Details nicht, aber es gibt mehrere Visionen: Die folgende Antwort verwendet die Dirac-Verteilung und die Formel $\delta(f(x))= \sum_{x_i \in f^{-1}(0)} \frac{\delta(x-x_i)}{f'(x_i)}$was an sich schon eine Erklärung wert ist. Die zweite Vision ist, im Rahmen von Maßnahmen zu bleiben, zum Beispiel ???-Stietjes-Maßnahmen.

Für diejenigen, die eine allgemeine und etwas abstraktere Sichtweise haben möchten, ist die sehr natürliche Frage, wie man ein invariantes Maß für die Bahnen (hier das Masse-Schale-Hyperboloid) unter einer Gruppe (hier Lorentz) findet, Bahnen, die Untermannigfaltigkeiten von einigen sind Verteiler, der mit einer Maßnahme ausgestattet ist.

(Absolutwert fehlt in meiner Formel mit Delta im vorherigen² Kommentar)

verlinken . Mögliche Ref. zum mathematischen Aspekt "Ein Kurs zur Integration, Nicolas Lerner" (2014), §5.5 S.238.

Hausaufgabe 1.4.7 von Robin Ticciatis Buch scheint darauf hinzudeuten, dass dies direkt durch Auswertung der Determinante der Jacobi-Zahl und Faktorisierung erfolgen kann $\Lambda$passend. Weiß jemand, wie das geht?