Verständnis eines Schrittes bei der Herleitung des Längenkontraktionseffekts in der speziellen Relativitätstheorie

Question

Verständnis eines Schrittes bei der Herleitung des Längenkontraktionseffekts in der speziellen Relativitätstheorie

Brachsen

Ich habe versucht herauszufinden, wie die Gleichung für die Längenkontraktion in meinem Lehrbuch (Krane, Modern Physics 3e) hergeleitet wird, da einige der letzten Schritte weggelassen wurden. Die fragliche Gleichung lautet:

L = L_{0} / γ = L_{0} \sqrt{1 - u^{2} / C^{2}}

$L = L_0/\gamma = L_0 \sqrt{1-u^2/c^2}$

Wo $u$ ist die Geschwindigkeit des Objekts. Ich habe es geschafft, mich die vorherigen Gleichungen abzuleiten

Δ T = Δ T_{0} \sqrt{1 - u^{2} / C^{2}}

$\Delta t = \Delta t_0\sqrt{1-u^2/c^2}$

Und

Δ T = \frac{2 L_{0}}{C} \frac{1}{1 - u^{2} / C^{2}}

$\Delta t = \frac{2L_0}{c} \frac{1}{1-u^2/c^2}$

Danach heißt es in meinem Buch:

Setzt man die beiden obigen Gleichungen zueinander und löst man, erhält man:
$Δ T = Δ T_{0} \sqrt{1 - u^{2} / C^{2}} = \frac{2 L_{0}}{C} \frac{1}{1 - u^{2} / C^{2}} \to L = L_{0} \sqrt{1 - u^{2} / C^{2}}$ $\Delta t = \Delta t_0\sqrt{1-u^2/c^2} = \frac{2L_0}{c} \frac{1}{1-u^2/c^2} \rightarrow L = L_0 \sqrt{1-u^2/c^2}$

ohne jeglichen Anschein von $L$ in den obigen Gleichungen. Ich habe eine Vermutung, dass es implizit als definiert werden könnte $u\Delta t$ , bin mir aber nicht sicher. Was ist hier der fehlende Schritt, um die letzte Gleichung aus den beiden oben zu erhalten?

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John Rennie · Answer 1

Es ist nicht klar, welches Bit Sie stört, also gehen wir das Argument durch:

Dies wird vom Erdrahmen aus gesehen, dh dem Rahmen, in dem sich die Lichtuhr bewegt. In diesem Rahmen liegt die Länge der Uhr $L$ . Auf der Hinfahrt bewegt sich das Licht eine Strecke $L+ut_1$ in einer Zeit $t_1$ , und da sich Licht mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, erhalten wir:

L + u T_{1} = C T_{1}

$L+ut_1 = ct_1$

Ebenso bewegt sich das Licht für die Rückfahrt um eine Strecke $L-ut_2$ in einer Zeit $t_2$ So:

L - u T_{1} = C T_{2}

$L-ut_1 = ct_2$

Die Gesamtzeit beträgt also:

\begin{matrix} (1) & T = T_{1} + T_{2} = \frac{2 L}{C} \frac{1}{1 - u^{2} / C^{2}} \end{matrix}

$t = t_1 + t_2 = \frac{2L}{c}\frac{1}{1 - u^2/c^2} \tag{1}$

Wechseln Sie nun zum Ruheframe der Uhr. In diesem Rahmen ist die Länge der Uhr $L_0$ . In diesem Rahmen bewegt sich das Licht einfach um eine Strecke $2L_0$ in einer Zeit $t_0$ , und wieder bewegt sich Licht mit Lichtgeschwindigkeit, also:

T_{0} = \frac{2 L}{C}

$t_0 = \frac{2L}{c}$

Jetzt verwendet das Buch das zuvor hergeleitete Ergebnis, dass:

\begin{matrix} (2) & T = \frac{T_{0}}{\sqrt{1 - u^{2} / C^{2}}} = \frac{2 L_{0} / C}{\sqrt{1 - u^{2} / C^{2}}} \end{matrix}

$t = \frac{t_0}{\sqrt{1-u^2/c^2}} = \frac{2L_0/c}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \tag{2}$

Dies ist nur die übliche Gleichung für die Zeitdilatation. Die Zeit $t$ ist in den Gleichungen (1) und (2) dieselbe Zeit, also setzen wir sie einfach gleich, um zu erhalten:

\frac{2 L}{C} \frac{1}{1 - u^{2} / C^{2}} = \frac{2 L_{0} / C}{\sqrt{1 - u^{2} / C^{2}}}

$\frac{2L}{c}\frac{1}{1 - u^2/c^2} = \frac{2L_0/c}{\sqrt{1-u^2/c^2}}$

Und dies ordnet sich zum Endergebnis um:

L = L_{0} \sqrt{1 - u^{2} / C^{2}}

$L = L_0\sqrt{1-u^2/c^2}$

Aber ich muss sagen, dass dies eine schreckliche Ableitung der Lorentz-Kontraktion ist, weil sie Ihnen keinen Einblick in das gibt, was tatsächlich in der speziellen Relativitätstheorie passiert. Die Kontraktion ist nicht wirklich eine Kontraktion, sondern eine Rotation in der Raumzeit. Werfen Sie einen Blick auf "Realität" der Längenkontraktion in SR, um eine Vorstellung davon zu bekommen, was tatsächlich vor sich geht.

Vielleicht interessieren Sie sich auch für Wie leite ich die Lorentz-Kontraktion aus dem invarianten Intervall ab? um zu sehen, wie die Lorentz-Kontraktion mit der Symmetrie zusammenhängt, die der speziellen Relativitätstheorie zugrunde liegt.

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Brachsen

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John Rennie

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