Relativitäts-Tangentiallichtuhr

Ich habe die Frage im letzten Absatz zusammengefasst, wenn Sie es vorziehen, alle meine Begründungen und Auslöser zu überspringen.

btw, habe ich mir angeschaut

• Kann man mit Lichtuhren die Längenkontraktionsformel ohne das "Aufprallen" des Photons ableiten?
• Wie leite ich die Lorentz-Kontraktion aus dem invarianten Intervall ab?
• Was ist, wenn sich eine Lichtuhr senkrecht zu Spiegeln bewegt, aus denen die Uhr besteht?

Ich habe auch einige Off-Site-Recherchen durchgeführt (ganz zu schweigen von dem Luxus, etwas davon gelernt zu haben - vor langer, langer Zeit).

Keine dieser Eingaben scheint meinen genauen Punkt abzudecken. Ich hoffe, Sie werden auch feststellen, dass dies kein Duplikat ist. Es gibt notwendigerweise eine gewisse Szeneneinstellung und einen gewissen Kontext.

Argumentation

Stellen Sie sich zwei Lichtuhren A und B in demselben sich bewegenden Bezugssystem und einen ruhenden Beobachter O vor.

Dies sind zunächst Einweg -Lichtuhren, bei denen das Licht von einem Emitter zu einem Detektor wandert. Sie sind keine Zwei- Wege-Uhren, in denen Licht zu seinem Ursprung zurückkehrt, obwohl dies als Überprüfung diskutiert wird und um zu zeigen, dass die Begründung die Lorentz-Transformation korrekt ableiten kann.

Uhr A: Tangential zur Geschwindigkeit

Die Behandlung der Lichtuhr A ist die vertraute Uhr aus jedem Lehrbuch der speziellen Relativitätstheorie, ich fasse sie hier zusammen.

Ich habe dieses Diagramm verwendet, obwohl es eine Zwei-Wege-Uhr ist.

Die Lichtuhr A ist so ausgerichtet, dass sich ihr Licht tangential zur beobachteten Bewegungsrichtung bewegt. Die Lichtuhr B ist so ausgerichtet, dass sich ihr Licht parallel zur beobachteten Bewegungsrichtung bewegt.
In der speziellen Relativitätstheorie kann der Längenkontraktionseffekt abgeleitet werden, indem grundlegende Trigonometrie auf den Lichtweg angewendet wird. Dies ist in Lehrbüchern gut etabliert, der Abstand$D$dass O beobachtet das Licht in Uhr A zu reisen ist

$$D^2=\frac{L^2}{\bigg(1-\frac{v^2}{c^2}\bigg)}$$
$L$ist der Abstand vom Lichtuhrdetektor zum Spiegel (in seinem eigenen Bezugssystem)
$D$ist die Strecke, die das Licht im Ruhesystem des Beobachters zurücklegt $v$ist die Geschwindigkeit des Rahmens
$c$ist die angenommene Lichtgeschwindigkeit

Die notwendige Annahme von O, dass die Lichtgeschwindigkeit konstant ist, bedeutet, dass er beobachtet, wie die Uhr A proportional zur größeren Weglänge langsamer läuft; und so erhalten wir eine Längenkontraktion.

Takt B: Parallel zur Geschwindigkeit

Ich versuche nun, diese Logik auf Uhr B anzuwenden. Die Strecke, die O beobachtet, wie das Licht in Uhr B zurücklegt.
In der Vorwärtsrichtung ist die Entfernung, um die sich der Detektor bewegt

$$v\delta t$$ Die Entfernung, um die sich das Licht bewegt, muss dies plus L sein (aber Länge verkürzt) $$D=L/\gamma+v\delta t$$ wo nochmal für den Beobachter $$\delta t=D/c$$ Das kommt leider wieder $$D=\frac{L}{\gamma\bigg(1-\frac{v}{c}\bigg)}$$

D ist größer als L, im Rahmen von O braucht das Licht länger, um D zu reisen, und daher erscheint die Zeit im Uhrenrahmen zu O erweitert.

Ich gehe weiter und mache die Zwei-Wege-Uhr.

Wenn Takt B ein Zwei-Wege-Takt parallel zur Geschwindigkeit wäre

OK, bestimmen wir die Länge des Rückwegs des Lichts und addieren sie zur Länge des Hinwegs des Lichts.$D$in der vorherigen Gleichung. ich kann sagen

$$c\delta t+v\delta t=L/\gamma$$ (zwei "Objekte", die sich von einer Trennung von L zusammen bewegen, eines bei v, eines bei c) Dies gibt uns $\delta t$und so ist die Länge der Rückreise des Lichts $$D_{return}=\frac{cL}{(c+v)}=\frac{L}{\gamma(1+v/c)}$$ Addieren Sie dies dann $$D_{bothways}=\frac{L}{(1+v/c)}+\frac{L}{\gamma(1-v/c)}$$ das klappt also $$D_{bothways}=\frac{2L}{\gamma(1-v^2/c^2)}$$ Jetzt habe ich es hier nicht hergeleitet, aber das können wir woanders tun $$\gamma=1/\sqrt(1-v^2/c^2)$$ Wir erhalten also, was für Uhr A doppelt so groß ist und richtig ist. $$D_{bothways}=\frac{2L}{\sqrt(1-v^2/c^2)}$$

Abschluss

Die Gleichungen für Uhr A und Uhr B stimmen nicht überein ... so dass unter bestimmten (erfundenen?) Umständen, wenn

• Der betrachtete Effekt ist monodirektional und
• parallel zur Rahmenbewegung verläuft (je nachdem ob in oder entgegen der Bewegungsrichtung)

Sie erhalten unterschiedliche Größen von Zeitdilatationseffekten. Okay, ich frage besser danach...

Die Frage

Als Community haben wir die Längenkontraktion bereits als richtungsweisend akzeptiert. Angesichts der Tatsache, dass die Zeitdilatation eine Manifestation des gleichen Effekts ist, scheint es nur logisch zu akzeptieren, dass (unter bestimmten Bedingungen) relativistische zeitliche Effekte auch gerichtet sein können, z. B. Einweg-Lichtuhren (falls so etwas existieren kann).

Was ist falsch an meiner Anwendung von Mathematik?

Folgen

Nur um zu versuchen, dies relevant zu machen, fangen wir jetzt an, ein seltsames Verhalten zu bekommen, wenn wir zwei unterschiedlich ausgerichtete gerichtete Lichtuhren auf eine hypothetische relativistische Reise mitnehmen. Sie werden anfangen, verschiedene Zeiten zu erzählen. Ich verstehe, dass GPS-Satellitenuhren relativistisch kompensiert sind. Wenn die (ich glaube, Atom-) Uhren eine "gerichtete" Komponente haben, ist es möglich, dass dieser Effekt signifikant ist?