Kann man mit Lichtuhren die Längenkontraktionsformel ohne das "Aufprallen" des Photons ableiten?

Kann die Längenkontraktionsformel hergeleitet werden, bei der das Photon nicht zum ursprünglichen Spiegel zurückprallt?

In der Ableitung hier , auf die Sie in einem Kommentar verlinkt haben, wird das Ergebnis über die Beziehung zwischen Koordinatenzeit erhalten$t$und richtige Zeit$\tau$(Zeitdilatation):

Daher muss es im Gedankenexperiment einen geeigneten Zeitpunkt geben, auf den diese Formel angewendet werden kann. Bei der verknüpften Ableitung ist die Eigenzeit$t_0$, die Zwei-Wege-Flugzeit des Photons. Diese Zeit wird von einer Uhr gemessen, die sich zusammen mit einem der Spiegel befindet.

Die Einweg-Flugzeit des Photons im Ruhesystem der Spiegel ist jedoch keine Eigenzeit, da die Einweg-Laufzeit von zwei räumlich getrennten und synchronisierten Uhren gemessen werden muss; eine Uhr, die mit einem Spiegel zusammen angeordnet ist, und die andere Uhr, die mit dem anderen Spiegel zusammen angeordnet ist.

Dieser Unterschied ist folgender: Alle Beobachter stimmen darin überein, dass die Zwei-Wege-Flugzeit des Photons, gemessen durch eine Uhr, die sich gemeinsam mit einem der Spiegel befindet, ist$t_0$. Deshalb ist diese verstrichene Zeit eine Eigenzeit ; Alle Beobachter stimmen darin überein, dass Sie die Zwei-Wege-Flugzeit des Photons im Ruhesystem der Spiegel gemessen haben, und deshalb können wir die obige Zeitdilatationsformel anwenden.

Aber während die beiden Uhren, von denen jeweils eine mit jedem Spiegel zusammen angeordnet ist, im Ruhesystem der Spiegel synchronisiert sind, sind sie nicht gemäß den sich relativ bewegenden Beobachtern synchronisiert .

Das heißt, relativ bewegte Beobachter sind sich nicht einig, dass Sie die Einweg-Flugzeit des Photons im Ruhesystem der Spiegel gemessen haben, und daher kann die obige Zeitdilatationsformel nicht angewendet werden.

(Ergänzende Bemerkungen zur Ableitung von Zeitdilatation und Längenkontraktion)

Im Fall der Zeitdilatation betrachten wir zwei (unterschiedliche) Ereignisse, die räumlich in einem Trägheitsbezugssystem (IRF) kolokalisiert sind.

Beispielsweise sendet eine Trägheitsuhr ein Photon aus und empfängt später das reflektierte Photon. In einer IRF, in der die Uhr ruht, haben diese beiden Ereignisse dieselbe räumliche Koordinate, dh die Ereignisse befinden sich in diesem Rahmen zusammen.

Wie von einem relativ bewegten IRF beobachtet, sind diese beiden Ereignisse sowohl räumlich als auch zeitlich getrennt, und daher muss gemäß den Lorentz-Transformationen die verstrichene Zeit in diesem IRF größer sein als die verstrichene Zeit auf der Uhr (die Eigenzeit). Das ist Zeitdilatation – bewegte Uhren laufen langsamer.

Umgekehrt betrachten wir im Fall der Längenkontraktion zwei Ereignisse, die zeitlich zusammen liegen (die Ereignisse sind simultan) in einer IRF.

Beispielsweise wird die Länge eines ruhenden Objekts in einem IRF gemessen, indem gleichzeitig die Position jedes Endes des Objekts aufgezeichnet und die Differenz (richtige Länge) genommen wird.

Wie von einem IRF beobachtet, das sich relativ parallel zum Objekt bewegt, sind diese beiden Ereignisse sowohl zeitlich (die Ereignisse sind nicht gleichzeitig) als auch räumlich getrennt, und daher muss gemäß den Lorentz-Transformationen die räumliche Trennung der beiden Ereignisse größer sein als die richtige Länge. Dies ist Längenkontraktion - sich bewegende Objekte werden entlang der Bewegungsrichtung zusammengezogen.