Warum ist geometrisch vier Beschleunigung ein Krümmungsvektor einer Weltlinie? Und was ist richtige Beschleunigung?

  1. Warum ist geometrisch vier Beschleunigung ein Krümmungsvektor einer Weltlinie?

    Geometrisch ist die Viererbeschleunigung ein Krümmungsvektor einer Weltlinie. Daher ist die Größe der Viererbeschleunigung (die ein unveränderlicher Skalar ist) gleich der richtigen Beschleunigung, die ein sich bewegendes Teilchen "fühlt", wenn es sich entlang einer Weltlinie bewegt. Die Weltlinien mit konstanter Beschleunigungsgröße von vier sind Minkowski-Kreise. ( Wikipedia )

  2. Und was ist richtige Beschleunigung?

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Die Krümmung einer ebenen Kurve ist definiert als die (Betrags-)Änderungsrate des Einheitstangentenvektors über die Länge der Kurve:

κ = | D T D S |

Dies ist eine natürliche Definition, da beispielsweise die Krümmung eines Kreises gerade ist 1 / R , wenn der Kreis also klein ist, hat er eine große Krümmung und wenn er groß ist, hat er eine kleine Krümmung. Der Einheits-Tangens-Vektor ist, wie Sie wissen, nur der Geschwindigkeitsvektor dividiert durch seine Größe:

T = u | u |

Rechnen Sie ein bisschen und Sie finden es heraus D T / D S = κ ( S ) N ( S ) , Wo N ist der Einheitsnormalenvektor. So können Sie definieren D T / D S als „ Krümmungsvektor “ der Kurve, der senkrecht zur Kurve zeigt und durch die Krümmung skaliert wird.

In SR die Vier-Geschwindigkeit U μ ist so definiert , dass seine Größe immer ist C . Außerdem neigen wir dazu, in Einheiten zu arbeiten, in denen C = 1 , also ist die Vierergeschwindigkeit eigentlich ein Einheits-Tangentenvektor zur Weltlinie. Die Vier-Beschleunigung, die als definiert ist A μ = D U μ / D S , ist also der Krümmungsvektor der Weltlinie, deren Größe die Krümmung ist.

Die richtige Beschleunigung ist nur eine schicke Art zu sagen "die Beschleunigung, die Sie mit einem Beschleunigungsmesser messen könnten". Die Größe der Viererbeschleunigung ist immer die richtige Beschleunigung, also ist die richtige Beschleunigung eines Beobachters geometrisch die Krümmung seiner Weltlinie.

Meistens eine faire Antwort, IMHO; Es könnte expliziter sein, wie man misst U μ [ S ] Und S getrennt, um sie auszuwerten D / D S [ U μ ] . Aber der letzte Absatz scheint rückwärts. Stattdessen ist "was Sie von einem guten Beschleunigungsmesser ablesen" bestenfalls eine verdeckte, unspezifische Art zu sagen "Beschleunigung der Größe vier". A μ := D / D S [ U μ ] ". Im schlimmsten Fall ist "was Sie von irgendeinem Beschleunigungsmesser ablesen" "nicht einmal falsch", ohne die Definition der zu messenden Größe zu berücksichtigen und somit ohne eine Möglichkeit festzustellen, ob oder mit welcher Genauigkeit der angegebene Beschleunigungsmesser war "gut" in jedem gegebenen Versuch.

Ein Objekt, das sich auf einem Trägheitspfad bewegt, hat in der speziellen Relativitätstheorie eine gerade Weltlinie. Die Vierer-Beschleunigung misst dann, wie nicht gerade die Weltlinie ist.

Wenn die Schwerkraft beteiligt ist, kann ein Trägheitspfad (freier Fall) aufgrund der Schwerkraft gekrümmt sein. Die Viererbeschleunigung misst immer noch die Beschleunigung relativ zu einem solchen Pfad, und die richtige Beschleunigung ist im Grunde nur diese Viererbeschleunigung, die in einen Dreiervektor umgewandelt wird. Zum Beispiel wäre ein Freifallpfad in der Nähe der Erde, nun ja, einer, auf dem Sie frei zum Erdmittelpunkt fallen. Ein solcher Weg hat ohne andere Kräfte eine Eigenbeschleunigung von Null. Wenn Sie stattdessen auf der Erdoberfläche stehen, ist Ihre eigentliche Beschleunigung radial vom Erdmittelpunkt weg gerichtet, mit der Größenordnung G .

Aus diesem Grund ist 4-acc eine geometrische Krümmung.

A μ = D 2 X μ D S 2 + Γ a β μ D X a D S D X β D S = 0

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