Relativistische Zentripetalkraft

Zufällig kam mir der Gedanke, dass ein kreisförmiger Teilchenbeschleuniger viel Kraft aufwenden müsste, um die Krümmung der Flugbahn beizubehalten . Viele Beschleuniger bewegen Teilchen mit vollständig relativistischen Geschwindigkeiten, und ich möchte fragen, wie sich das auf die Dinge auswirkt.

Warum ist das wichtig? Nun, wenn ich das richtig verstehe, bewegt sich ein Teilchen im LHC um 0,999 c Es wäre dramatisch schwieriger, sich im Kreis zu bewegen, als ein Teilchen, das sich bewegt 0,99 c . Beim Lesen von Wikipedia war ich erfreut, ein vollständig spezifiziertes Problem in einem einzigen Absatz zu finden.

http://en.wikipedia.org/wiki/Large_Hadron_Collider

Der LHC liegt in einem Tunnel mit einem Umfang von 27 Kilometern und einer Tiefe von bis zu 175 Metern unter der französisch-schweizerischen Grenze in der Nähe von Genf in der Schweiz. Sein Synchrotron ist darauf ausgelegt, entgegengesetzte Teilchenstrahlen von entweder Protonen mit bis zu 7 Teraelektronenvolt (7 TeV oder 1,12 Mikrojoule) pro Nukleon oder Bleikernen mit einer Energie von 574 TeV (92,0 µJ) pro Kern (2,76 TeV pro Nukleon) zur Kollision zu bringen.

Ich kann (oder Google kann) den Protonenfall berechnen , zu dem man kommt 0,999999991 c . Um die Kraft, die der LHC auf ihn ausüben muss, richtig zu berechnen, muss ich von ausgehen F = d p / d t , oder komme ich damit klar v 2 / r mal die relativistische Masse? Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich ersteres machen soll.

Frage: Angenommen, ich habe 2 Protonen, die sich beide so schnell bewegen, dass sie fast Lichtgeschwindigkeit erreichen, aber eines hat die doppelte Energie des anderen. Sie bewegen sich Seite an Seite und treten entweder in ein elektrisches oder ein magnetisches Feld ein, wodurch sie senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor beschleunigt werden. Ist der Krümmungsradius für die beiden meistens gleich oder unterscheidet er sich um einen Hauptfaktor (wie 0,5x, 1x oder 2x)?

Ich möchte einige Kommentare von Leuten lesen, die diese Physik gut verstehen. Die Teilchen jenseits einer bestimmten Energie bewegen sich alle fast genau gleich schnell. Ist es immer noch in Ordnung zu sagen, dass sie auch die gleiche "Beschleunigung" haben? Sie haben einfach eine absurd große Trägheit im Vergleich zu demselben Teilchen bei einem bescheideneren Bruchteil der Lichtgeschwindigkeit. Ist das die richtige Perspektive?

Ich denke, wenn Sie Berechnungen für ein einzelnes Proton durchführen möchten, benötigen Sie wahrscheinlich etwa 4 Vektoren. Ich weiß, dass es einige seltsame Effekte in Bezug auf relativistische Kreisbewegungen gibt. Es kann durch viele kleine senkrechte Lorentz-Boosts angenähert werden. das ist mir ein Rätsel, aber es ist eine große Frage

Antworten (2)

Da wir Magnetfelder verwenden, um den Pfad von Teilchen in Beschleunigern zu biegen, und E&M konstruktionsbedingt Lorentz-invariant ist, wenden wir einfach den Biegeradius in einer Magnetfeldgleichung im Laborrahmen an und machen uns nie die Mühe, die Kraft zu berechnen. Der Krümmungsradius ist

R = p q B .

Beachten Sie, dass bei einem Ring wie dem LHC die Biegung nicht wirklich gleichmäßig ist, sondern nur in den Biegemagneten, aber nicht in den Quadrupolen oder Hohlräumen (falls vorhanden), sodass sie lokal enger ist, als Sie durch naive Anwendung der obigen Gleichung erhalten würden mit einem Radius von 27 Meilen.

Wenn Sie darauf bestehen, die Kraft zu finden, werden Sie feststellen, dass sich der Impuls im Laufe eines Zyklus ändert 2 π | p | , und es dauert ( 27  km ) / c Sekunden, um dorthin zu gelangen, so dass die mittlere Kraft ist

F = p c r = 2 π p c 27 K m .

Wiederum wird es bei jedem gegebenen Magneten um einen Faktor von weniger als 10 größer sein, da die Magnete nicht die gesamte Strahllinie abdecken.

Übrigens: Wenn Sie viel Zeit mit Teilchenphysik verbringen, werden Sie die ultrarelativistische Mechanik lieben: Sie ist sogar einfacher als die nichtrelativistische Mechanik.

nett F Gleichung. Wenn etwas "ultrarelativistisch" ist, dann kann ich das sagen E = p c ? In diesem Fall ist das physikalische Bild fast dumm einfach. Im LHC schicken sie die Protonen in „Paketen“, richtig? Wenn Sie 2 verschiedene Energien hätten, müssten sie 2 verschiedene elektronische Signale (durch die supraleitenden Magneten) verwalten, obwohl ein ultra-relativistisches Teilchen fast ewig brauchen würde, um ein anderes ultra-relativistisches Teilchen zu überlappen? Das ist verrückt!
Es ist E 2 = ( p c ) 2 + ( m 0 c 2 ) 2 . Ich vermute die m 0 c 2 wird irgendwann vernachlässigbar (schöner Rollentausch, meistens ist es umgekehrt!). Dann bekommst du E = p c .
Ja, E = p c (auch bekannt als Annahme eines masselosen Teilchens) ist in der Hochenergiephysik weit verbreitet.
Du hast es. Die Masse eines Protons beträgt etwa 1 GeV, wenn also die Strahlenergien im TeV-Bereich liegen, wird die Masse vernachlässigbar. Elektronen haben eine Masse von etwa 1/2 MeV, daher kann sie bei GeV-Strahlenergien vernachlässigt werden, und so weiter.
@dmckee Ich sehe nicht, wo die 2 π kommt von. Für ultrarelativistische Teilchen mit konstanter Geschwindigkeit gilt: F = d p / d t = γ m ( d v / d t ) = γ m v 2 / r = γ m c 2 / r = p c / r .
@MarkH Die 2 π tritt ein, wenn Sie eine Vollzeitrunde fahren (beachten Sie, dass die 27 Kilometer der Umfang sind). Es ist eine Weile her, aber ich vermute, dass ich sie zu einer Zeit geschrieben habe, als ich gerade Zentripetalkraft für meinen College-Physikunterricht (dh keine Analysis) durchgeführt hatte, für die wir ein leicht barockes Argument verwenden, das das Skizzieren des Kreises im Geschwindigkeitsraum beinhaltet damit sie keine Derivate brauchen.
@dmckee Richtig, ich habe vergessen, dass 27 km der Umfang sind, nicht der Radius. schlägt auf die Stirn
Ich wollte nur als Kommentar darauf hinweisen, dass die erste Gleichung relativistisch richtig ist, auch wenn es auf den ersten Blick nicht so aussieht; Dies kam in einer verwandten Frage auf . Der relativistische Ausdruck für die Lorentzkraft ist d p ∙ / d τ = γ   q   ( v → ⋅ E → / c ,   E → + v → × B → ) und die richtige Beschleunigung für Kreisbewegungen ist a = γ 2   v 2 / r führt zu m 0 γ 2   v 2 / r = γ   q   v   B , Also r = γ   m 0   v / ( q   B ) .
In der ersten Antwort oben wird davon ausgegangen, dass 𝛾 konstant ist. Aber wie sieht es mit dem Spin des Teilchens und dem daraus resultierenden magnetischen Moment aus? Da die Geschwindigkeit entlang der Richtung des Magnetfelds mit dem Vorhandensein des magnetischen Moments zunimmt, kann 𝛾 dann zunehmen. Wird die Sache dadurch nicht komplizierter?

Ich bin nicht jemand, der die Physik gut versteht, also bin ich mir da nicht 100% sicher. Kommentare dazu werden sehr geschätzt. (Update: Dieser Ansatz scheint richtig zu sein)

F=dp/dt funktioniert auch v 2 / r . Solange Sie es mit konstanter Geschwindigkeit drehen möchten, bleibt Ihr Lorentz-Faktor konstant und seitdem p = γ m 0 v , Ihre Kraft wird werden m 0 γ d v → / d t . Dann können Sie es normal mit Vektoren lösen (genau derselbe Beweis wie der klassische für CPF). Ihr Endergebnis wird sein γ m 0 v 2 / r .

Bei Beschleunigungen aufgrund von Kräften wieder verwenden F = d ( γ m 0 v ) / d t . Wenn m 0 konstant ist, dann bekommen wir F = m 0 a ( 1 − v 2 c 2 ) 3 2 = γ 3 m 0 a . Da haben wir noch γ , werden die Beschleunigungen sehr unterschiedlich sein.

Wenn also ein Proton die doppelte Energie eines anderen hat, hat das Proton die doppelte γ (aus E = γ m 0 c 2 ). Die Beschleunigung wird also achtmal geringer sein.

Es ist nicht wirklich eine Meinung, wenn Sie es mit Gleichungen untermauern ... FWIW, das sieht so aus, als ob es richtig sein könnte.
Dies ist der richtige Ansatz, aber es macht keinen Sinn, zu rechnen v überhaupt. Gehen Sie einfach mit der zeitlichen Ableitung des Impulses.
@dmckee Wo genau soll ich v nicht berechnen? Ich sehe keinen Ort, an dem ich es berechnet habe, ich habe nur die Impulsterme getrennt gehalten, damit ich Beschleunigung bekomme.
@dmckee Wenn Sie über den Krümmungsradius sprechen, habe ich ihn nicht verwendet R = p / q B da ich selbst nicht sicher war, ob es anwendbar ist. Schließlich wird die Formel klassisch hergeleitet F = m a . Es stellt sich heraus, dass es anwendbar ist , ich musste es nur ableiten (teilweise, um mich selbst zu überzeugen).
@DavidZaslavsky Ja, aber jede Gleichung hat eine Anwendungsgrenze. Zum Beispiel kann man keine normalen Zeitdilatationsformeln auf beschleunigende Körper anwenden. In ähnlicher Weise wird der vektorielle Ansatz verwendet, um diesen CPF zu beweisen = v 2 / r könnte irgendeinen Fehler haben. Ich mag es nicht, falsche Antworten zu geben, also habe ich es als "Meinung" markiert (ja, schlechte Wortwahl hier =P ).
@Manishearth: Ja, vielleicht sollte ich da nicht so wählerisch sein, aber ich ziehe es wirklich vor, das Wort "Meinung" für Dinge reserviert zu sehen, die tatsächlich Meinungen sind, dh auf dem neuesten Stand der Physik, wo es genug Mehrdeutigkeiten gibt, die Sie nicht können Dinge definitiv auf der Grundlage von Mathematik entscheiden. Zu sagen "Ich bin mir da nicht 100% sicher, aber..." wäre besser, denke ich. (Ich spreche hier als normaler alter Benutzer der Seite, nicht als Moderator, also keine Verpflichtung, dieser Empfehlung zu folgen.)
@DavidZaslavsky Wie auch immer, was du sagst, macht Sinn. Ich habe es geändert.
Dieses Ergebnis erscheint mir sehr seltsam: Wenn wir eine gleichförmige Bewegung haben, erhalten wir nur eine γ , aber sobald wir eine infinitesimale Beschleunigung hinzufügen, erhalten wir zwei zusätzliche γ s? Das ist sehr verdächtig.
Beschleunigungen sind immer auf Kräfte zurückzuführen. Ihr Kraftausdruck bezieht mit ein γ 3 ist für eine Beschleunigung, die parallel zur Geschwindigkeit des Teilchens ist. Der ursprüngliche Fragesteller fragte nur nach Beschleunigung senkrecht zur Geschwindigkeit.
Relativistische Zentripetalkraft
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 19v