Bedeutet eine konstante 4-Beschleunigung eine konstante Beschleunigung?

Question

Bedeutet eine konstante 4-Beschleunigung eine konstante Beschleunigung?

RenatoRenatoRenato

Bevor ich die Frage stelle, erkläre ich hier meine Gedankengänge:

Ich bin mir fast sicher, dass eine konstante Beschleunigung $\bf{a}$ impliziert eine konstante 4-Beschleunigung $w^\mu$ . Also nehme ich an, dass wir im Ruhesystem des Teilchens, wo seine Geschwindigkeit Null ist, eine konstante Beschleunigung haben $w^\mu=(0,\bf{a})$ , also wenn $\bf a$ konstant ist, die Menge $w^\mu w_\mu$ ebenfalls konstant und Lorentz-invariant sein. Wenn es einen Fehler gibt, steht es Ihnen frei, darauf hinzuweisen.

Wie auch immer, vorausgesetzt, das, was ich gesagt habe, stelle ich die entgegengesetzte Frage: Bedeutet eine konstante Beschleunigung von vier eine konstante Beschleunigung?

Ich habe kein befriedigendes Ja gefunden, ich habe versucht, in Analogie zu dem zu denken, was ich oben geschrieben habe, aber ich habe nur erhalten, dass ich gerade im mitbewegten Referenzrahmen eine konstante Beschleunigung habe, aber dann in einem anderen Referenzrahmen wo $w^\mu$ Funktion sowohl der Geschwindigkeit als auch der Beschleunigung des Teilchens, wie kann ich wissen, dass sie sich nicht selbst modifizieren, um die anfängliche Annahme einer konstanten 4-Beschleunigung gültig zu halten?

Antworten (3)

Bedeutet eine konstante 4-Beschleunigung eine konstante Beschleunigung?

John Rennie · Answer 1

John Rennie

Die Norm der Viererbeschleunigung (dh die Eigenbeschleunigung) definiert durch:

A^{2} = G_{a β} A^{a} A^{β}

$A^2 = g_{\alpha\beta} a^\alpha a^\beta$

ist ein Lorentz-Skalar und daher für alle Beobachter gleich. Nichts hindert mich jedoch daran, einige bizarre Koordinaten zu wählen, bei denen die vier Beschleunigungen zeitabhängig sind, dies jedoch durch die Zeitabhängigkeit in der Metrik aufgehoben wird, um eine konstante richtige Beschleunigung zu erhalten. In diesem Sinne impliziert eine konstante Eigenbeschleunigung also keine konstante Viererbeschleunigung oder umgekehrt.

RenatoRenatoRenato

Danke für deine klare Erklärung. Wir können also "laut" sagen, dass das, was wir meinen, wenn wir von konstanter 4-Beschleunigung sprechen, völlig unabhängig von dem ist, was wir uns normalerweise vorstellen, wenn wir von konstanter Beschleunigung sprechen?

John Rennie

@Runlikehell: Konstante Viererbeschleunigung ist ein etwas vage definierter Begriff. Eine Interpretation ist, dass wenn wir schreiben

a = (a^{0}, a^{1}, a^{2}, a^{3})

$\mathbf a = (a^0, a^1, a^2, a^3)$ dann die Werte aller Komponenten

a^{μ}

$a^\mu$ sind konstant. Aber die Werte von

a^{μ}

$a^\mu$ hängen von den Koordinaten ab, die wir wählen, und wir können immer Koordinaten finden, in denen die Komponenten nicht konstant sind. Wenn wir diesen Sinn des Wortes Konstante verwenden , dann haben konstante Vier-Beschleunigung und konstante Eigenbeschleunigung keinen Zusammenhang.

RenatoRenatoRenato

Mit konstant meinte ich, dass es sich zeitlich nicht ändert, dass der ganze Vektor gleich bleibt, nicht seine Komponenten, die Komponenten ändern sich in verschiedenen Koordinatensystemen, deshalb dachte ich, wenn Sie schreiben können

w^{μ} = (0, a)

$w^\mu=(0, \bf{a})$ mit

a

$a$ konstant, in einem Koordinatensystem, da sowohl der gesamte 4-Vektor als auch der 3-Vektor in einem Koordinatensystem konstant sind, dachte ich, dass der gesamte 4-Vektor in jedem Koordinatensystem so bleiben würde. Ich hatte wahrscheinlich keinen klaren Kopf und schrieb diesen Teil über die Summe

w^{μ} w_{μ}

$w^\mu w_\mu$ was nutzlos und irreführend sein kann.

JG · Answer 2

Nein. Angenommen, eine relativistische Masse beschleunigt mit konstanter Eigenbeschleunigung $a$ . Seine Schnelligkeit nach einer angemessenen Zeit $\tau$ Ist $\phi=\phi_0+\frac{a\tau}{c}$ . Die Geschwindigkeit ist $v=c\tanh\phi$ , So $\frac{dv}{d\tau}=a\text{sech}^2\phi$ fällt mit der Zeit ebenso ab $\frac{dv}{dt}=\gamma^-1\frac{dv}{d\tau}=a\text{sech}^3\phi$ .

Frobenius · Answer 3

Wenn

\begin{aligned} (01a) & v & = Geschwindigkeit 3-Vektor \\ (01b) & A & = Beschleunigung 3-Vektor \\ (01c) & U & = Geschwindigkeit 4-Vektor \\ (01d) & A & = Beschleunigung 4-Vektor \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{v} & =\textrm{velocity 3-vector} \tag{01a}\\ \mathbf{a} & =\textrm{acceleration 3-vector} \tag{01b}\\ \mathbf{U} &=\textrm{velocity 4-vector} \tag{01c}\\ \mathbf{A} &=\textrm{acceleration 4-vector} \tag{01d} \end{align}$ Dann

\begin{aligned} (02a) & A & = γ_{v} (γ_{v} A + \frac{D γ_{v}}{D T} v, \frac{D γ_{v}}{D T} C) \\ (02b) & “ A “^{2} & = - γ_{v}^{4} [“ A “^{2} + (γ_{v}^{2} - 1) {(\frac{D v}{D T})}^{2}] \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{A} & = \gamma_{v}\left(\gamma_{v}\,\mathbf{a}+\dfrac{\mathrm{d}\gamma_{v}}{\mathrm{d}t}\mathbf{v},\dfrac{\mathrm{d}\gamma_{v}}{\mathrm{d}t}c \right) \tag{02a}\\ \Vert\mathbf{A}\Vert^{2} & = -\gamma_{v}^{4}\left[\Vert\mathbf{a}\Vert^{2}+\left(\gamma_{v}^{2}-1\right) \left(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right) ^{2} \right] \tag{02b} \end{align}$ Sie haben alle Antworten aus Gleichungen (02).

Beachten Sie das im Ruhesystem des Partikels $\:(\mathbf{v}_{0}\equiv \boldsymbol{0}, \gamma_{v}=1,\mathbf{a}=\mathbf{a}_{0})\:$

\begin{aligned} (03a) & A_{0} & = (A_{0}, 0) \\ (03b) & “ A_{0} “^{2} & = - “ A_{0} “^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{A}_{0} & = \left(\mathbf{a}_{0},0 \right) \tag{03a}\\ \Vert\mathbf{A}_{0}\Vert^{2} & = -\Vert\mathbf{a}_{0}\Vert^{2} \tag{03b} \end{align}$

Danke für deine klare Erklärung. Wir können also "laut" sagen, dass das, was wir meinen, wenn wir von konstanter 4-Beschleunigung sprechen, völlig unabhängig von dem ist, was wir uns normalerweise vorstellen, wenn wir von konstanter Beschleunigung sprechen?
@Renn wie die Hölle: Ich denke schon. Deine Frage wäre übrigens klarer, wenn klargestellt würde, dass die Konstanz die 4- und 3-Vektoren betrifft und nicht deren Normen.
Ja, ich denke, dass der Teil, wo ich die Norm geschrieben habe $w^\mu w\_nu$ kann nutzlos und irreführend sein. Wahrscheinlich habe ich im Moment keinen klaren Kopf, es sieht so aus, als wäre mein erster Gedankengang richtig. der ganze 4-Vektor w^\mu konstant in einem Bezugssystem( wegen der Konstanz von $a$ ) impliziert, dass es in jedem Bezugssystem konstant ist, aber das Gegenteil ist nicht der Fall. So habe ich Ihre Antwort gelesen, aber ich bin möglicherweise durch meine Interpretation voreingenommen und habe Ihre Antwort falsch verstanden.

Bedeutet eine konstante 4-Beschleunigung eine konstante Beschleunigung?

RenatoRenatoRenato

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John Rennie

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Frobenius

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Frobenius

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