Was ist, wenn sich eine Lichtuhr senkrecht zu Spiegeln bewegt, aus denen die Uhr besteht?

In diesem Fall tritt natürlich immer noch eine Zeitdilatation auf. Um dies mit t=d/v darzustellen, müsste man die Raumkontraktion in Bewegungsrichtung berücksichtigen . Wenn d die Höhe der Uhr ist, dann ist es mathematisch gesehen nicht die Zeit, die ein Photon unten benötigt, um die Spitze der Uhr zu erreichen$\frac{d+vt}{c}$Aber$\frac{d/\gamma+vt}{ c}$. Wenn Sie die Zeit berechnen, die dieses Photon benötigt, um zum unteren Rand der Uhr zurückzukehren, und sie mit der zuvor berechneten Zeit addieren, erhalten Sie genau die gleiche Zeitdilatation wie die Uhr, die sich parallel zu den Spiegeln bewegt.

In diesem Szenario würde eine Zeitdilatation auftreten.

Dieses Diagramm zeigt zwei Lichtuhren. Die linke Lichtuhr steht still. Die rechte Lichtuhr wandert mit 60 % der Lichtgeschwindigkeit nach rechts.

Die grünen und roten Linien stellen die Spiegel jeder Lichtuhr dar.

Die blauen Linien stellen Photonen dar, die zwischen den Spiegeln jeder Lichtuhr hin- und herspringen. Alle 45-Grad-Linien repräsentieren die Lichtgeschwindigkeit. Die Zahlen geben Ticks der Lichtuhren an, die gezählt werden, wenn das Photon auf den linken Spiegel einer Uhr trifft.

Die rechte Lichtuhr tickt langsamer, weil sich ihr rechter Spiegel die Hälfte der Zeit vom Photon wegbewegt, was länger braucht, um es einzuholen.

Nach 5 Ticks der linken Lichtuhr hat die rechte Lichtuhr nur 4 Ticks aufgezeichnet, was anzeigt, dass eine Zeitdilatation stattgefunden hat.

Ja, Zeitdilatation tritt immer noch auf. Der Grund dafür ist, dass die Spiegel da sind, um eine intuitive Sicht darauf zu bieten, wie/warum Zeitdilatation auftritt, nicht um sie zu erzeugen. Diese Zeitdilatationen treten immer noch unabhängig von der Existenz der Spiegel oder der Bewegungsrichtung auf. Aber die Zeichnung wird keine Aussagekraft mehr haben.

Die beiden parallelen Spiegel A und B bewegen sich so zusammen, dass die Reflexionsachse parallel zur Bewegungsrichtung ist, und in einer solchen Richtung, dass A hinter B zurückbleibt, da beide mit der gleichen Geschwindigkeit nahe der Lichtgeschwindigkeit relativ zu reisen unsere Sternwarte. Ein an A angebrachter Laser feuert einen Impuls auf B ab, der irgendwann zurückkehrt$x/c$später. Da sich B schnell von der anfänglichen Impulsposition wegbewegt, dauert es viel länger, bis der Impuls B erreicht und in unserem Rahmen zurückreflektiert, als im Taktrahmen: Zeitdilatation tritt immer noch auf.

Was diese Anordnung zusätzlich zum Lehrbuchbeispiel (mit der Reflexionsachse senkrecht zur Bewegungsachse) einführt, ist die Relativität der Gleichzeitigkeit: Wenn im Lehrbuchbeispiel an jedem Spiegel ein Laser angebracht ist und beide gleichzeitig feuern, dann erreichen beide Strahlen gleichzeitig auch einen Sensor auf dem anderen Spiegel. In Ihrem Beispiel erreicht der Strahl von B A aus unserer Beobachtungsperspektive lange bevor der Strahl von A B erreicht; obwohl sie im Rahmen des Schiffes, das die Lichtuhr trägt, immer noch gleichzeitig stattfinden werden.

Mit A und BI meine ich die beiden Spiegel. Spiegel A ist der hinterste Spiegel; Spiegel B ist der vorderste. Wie Sie sagen, wird die Entfernung vergrößert, wenn das Licht von A nach B wandert, aber um den gleichen Betrag verringert, wenn es von B nach A wandert. Somit (für einen Moment die Fitzgerald-Kontraktion ignorieren) die Gesamtweglänge für eine vollständige Zyklus bleibt derselbe wie bei einem stationären System.

Beschleunigung kommt dabei nicht in Frage. Das Lichtuhr-Gedankenexperiment ist eine Demonstration der Speziellen Relativitätstheorie, bei der sich Uhr und Beobachter mit konstanter Relativgeschwindigkeit fortbewegen.

Stellen wir uns vor, dass die Uhr gegenüber dem Lehrbuchbeispiel um 90 Grad gedreht ist und sich das Licht der Uhr nun auf derselben Achse hin und her bewegt, auf der sich das Objekt bewegt. Für eine stationäre Uhr wäre die Zeit, die ein Photon benötigt, um von einem Spiegel und zurück zu gehen:

τ(stat)=2*d0/c

Für eine bewegte Uhr und einen stationären Beobachter wissen wir zunächst, dass das Photon die Distanz d zurücklegen muss, erhöht um die Distanz, die Spiegel 2 zurückgelegt hat:

c*t1 = d + v*t1

Beachten Sie, dass wir davon ausgehen, dass die Abstände d in beiden Fällen nicht gleich sind. Dann muss es zurück, aber dieses Mal wird die Distanz, die es zurücklegen muss, um den Betrag verringert, den Spiegel 1 in seine Richtung zurücklegt:

c*t2 = d - v*t2

Die Gesamtzeit, die das Photon benötigt, um von Spiegel 1 zu Spiegel 2 und zurück zu gelangen, wäre:

τ(mov)= t1 + t2
      = d/(c-v) + d/(c+v)
      =2cd/(c^2 - v^2)

Nun ist der Abstand d hier nicht derselbe wie der Abstand d0, den wir in der ersten Gleichung haben, weil wir den Effekt einer Längenkontraktion haben. Die Bewegungsentfernung beträgt:

 d=d0/γ
 d=τ(stat)*c/(2*γ)

Wo wir wissen:

 γ^2= c^2/(c^2 - v^2)

Wenn wir das in unserer Gleichung ersetzen, erhalten wir:

τ(mov)= [2*c*d]/(c^2 - v^2)
      = [2*c*τ(stat)*c/(2*γ)]/(c^2 - v^2)
      =  τ(stat)*c^2/[γ*(c^2 - v^2)]
      =  τ(stat)*γ^2/γ
      =  τ(stat)*γ

Dies sollte eine Zeitdilatationsformel für eine longitudinale Lichtuhr sein.

Die Frage beschreibt die " Längslichtuhr "
im Gegensatz zu der häufigeren " Querlichtuhr ", die in vielen Lehrbüchern zu finden ist.

@Drews Diagramm ist korrekt.

Obwohl in den Antworten von @Drew und @thermomagnetischem kondensiertem Boson und anderen
"Längenkontraktion" hervorgehoben wird, um die Zeitdilatation zu berücksichtigen, ist es wahrscheinlich besser, die "Invarianz des Quadratintervalls" über die Invarianz von
hervorzuheben Bereich des Dreiecks (allgemeiner kausaler Diamant). Diese Flächeninvarianz folgt daraus, dass die Determinante der Lorentz-Boost-Transformation gleich 1 ist. Außerdem bewahren die Eigenvektoren des Lorentz-Boosts die Kanten so, dass sie entlang des Lichtkegels liegen.

Einige Details dieser Idee und einige Anwendungen wurden in meinem Artikel "Relativity on Rotated Graph Paper"
American Journal of Physics 84, 344 (2016)
https://doi.org/10.1119/1.4943251 ausgearbeitet
(siehe auch: https:/ /arxiv.org/abs/1111.7254 )
(siehe auch: https://www.physicsforums.com/insights/relativity-rotated-graph-paper/ ) Das gedrehte Millimeterpapier erleichtert das Zeichnen der „Ticks“ des Lichts -Uhr (Lichtuhrrauten genannt) und, was noch wichtiger ist, grafisch mit ihnen rechnen .

Um den Kommentar zum OP von @thermomagnetic condensed boson
über die Visualisierung der standardmäßigen „ transversalen Lichtuhr “ in einem Raumzeitdiagramm anzusprechen, kann man sich eine der Folgen von
Caltechs Mechanical Universe, Folge 42 (bei 24:10) ansehen:
https:// www.youtube.com/watch?v=feBT0Anpg4A&t=24m10s

Für eine vollständigere Visualisierung kann man sich einen älteren Artikel von mir ansehen
"Visualizing Proper-Time in Special Relativity"
, Physiklehrer (Indian Physical Society), v46 (4), S. 132-143 (Oktober-Dezember 2004)
https: //arxiv.org/abs/physics/0505134 Für eine Animation mit " kreisförmigen Lichtuhren " (die die transversalen und longitudinalen Lichtuhren umfassen), https://www.youtube.com/watch?v=tIZeqRn7cmI Weitere Animationen finden Sie unter http://visualrelativity.com/LIGHTCONE/LightClock/ .

In der Lehrbuchversion ist gut zu erkennen, wie die Weglänge nach dem Satz des Pythagoras zunimmt. Wenn sich das Licht parallel zur Bewegungsrichtung ausbreitet, wandert der Impuls weiter, um von zu kommen$A$Zu$B$als von$B$Zu$A$, aber die Gesamtweglänge über einen vollständigen Zyklus bleibt gleich, unabhängig von der relativen Geschwindigkeit. Die Uhr läuft also unabhängig von der relativen Geschwindigkeit immer gleich schnell. Aber warten Sie mal: Die Fitzgerald-Lorenz-Kontraktion wird den Abstand zwischen den Spiegeln um einen Faktor verkürzen$\gamma$. Die Uhr läuft also mit zunehmender Relativgeschwindigkeit schneller .