Eigene Zeit für ein beschleunigendes Objekt

In der speziellen Relativitätstheorie muss man als Bezugssystem ein Inertialsystem wählen. In diesem Trägheitssystem können Sie die Bewegung eines beliebigen Objekts betrachten, unabhängig davon, ob es sich um eine (beschleunigte oder nicht beschleunigte) Bewegung handelt.

Seien die Koordinaten des bewegten Objekts relativ zu einem Inertialsystem$F$, Sei$x$Und$t$. Wir können einen anderen Anfangsrahmen betrachten$F'$, die Koordinaten des sich bewegenden Objekts, relativ zu$F'$, Sind$x'$Und$t'$

Das Herzstück der speziellen Relativitätstheorie ist, dass es eine Invariante gibt, die ist$c^2 dt^2 - \vec dx^2 = ds^2$. Das bedeutet, dass :$c^2 dt^2 - \vec {dx}^2 =ds^2= ds'^2 = c^2 dt'^2 - \vec {dx'}^2$. Alle Inertialsysteme stimmen bei Betrachtung des bewegten Objekts über denselben Wert überein$ds^2$

Jetzt, irgendwann$t_0$, können Sie immer ein Inertialsystem betrachten$F'(t_0)$die in diesem Moment die gleiche Geschwindigkeit wie das sich bewegende Objekt relativ zu hat$F$. Natürlich haben Sie einen anderen Trägheitsrahmen$F'(t)$für jeden Augenblick. Der entscheidende Punkt ist jedoch, dass die momentane Geschwindigkeit des sich bewegenden Objekts relativ zu$F'(t)$Null ist, das heißt, Sie haben$dx' =0$, du kannst also schreiben:$ds^2 = c^2 dt^2 - \vec {dx}^2 = ds'(t)^2=c^2dt'^2$

Die Zeit$t'$Die auf diese Weise definierte Zeit wird als Eigenzeit des sich bewegenden Objekts bezeichnet und notiert$\tau$($c^2 dt^2 - \vec {dx}^2 = c^2d\tau^2$). Es stellt die Zeit dar, die für eine Uhr verstrichen ist, die sich mit dem sich bewegenden Objekt bewegt.

Beachten Sie bei Ihrem Problem, dass Sie bei der Parametrisierung Folgendes beachten:

$$\left\{ \begin{array}{l l} ct= b ~sh (\frac{c \tau}{b}) \tag{1}\\ x= b ~ch (\frac{c \tau}{b}) \end{array}\right.$$ Sie werden mit ein wenig Algebra feststellen, dass erstens $x(t) = \sqrt{(b^2)+((ct)^2)}$, und zweitens das $c^2 dt^2 - \vec {dx}^2 = c^2d\tau^2$(Wir nehmen hier an $dy=dz=0$).

So,$\tau$ist die richtige Zeit, nach der Sie suchen, und Sie können einen Ausdruck dafür finden$\tau$relativ zu$t$, indem die erste Gleichung der Parametrisierung invertiert wird$(1)$:

$$\tau = \frac{b}{c}~Argsh (\frac{c t}{b}) \tag{2}$$

Die Eigenzeit ist in SR, SR + Beschleunigung und tatsächlich in GR gut definiert und in allen dreien unveränderlich. In diesem Fall bedeutet die Invarianz der Eigenzeit, dass Sie einfach die verstrichene Zeit für den ruhenden Beobachter verwenden können.

Die Gleichung, die Sie erhalten haben, ist eine leicht getarnte Version der relativistischen Raketengleichung :

$$d(t) = \frac{c^2}{a} \left(\sqrt{1 + \left(\frac{at}{c}\right)^2} - 1 \right)$$

($c$ist hier die Lichtgeschwindigkeit - es ist nicht klar, ob$c$bedeutet die Lichtgeschwindigkeit oder nur eine Konstante in der Gleichung, die Sie erhalten haben). Die Ableitung der Gleichung für die relativistische Rakete ist in Gravitation von Misner, Thorne und Wheeler, Kapitel 6, angegeben .

Die Eigenzeit wird für eine beliebige zeitähnliche Trajektorie definiert$x^\mu(t)$und eine beliebige Raumzeitmetrik$g_{\mu\nu}(x)$nach der Formel

$$\tau=\int\sqrt{g_{\mu\nu}(x)\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu} dt.$$ Ich würde empfehlen, dies mit der allgemeinen Formel für die Länge einer gekrümmten Bahn zu vergleichen, um ein Gefühl dafür zu bekommen, dass dies etwas Invariantes ist und nicht von der Wahl der Koordinaten abhängt, wenn die Metrik in den neuen Koordinaten richtig berechnet wird.