Zeit in der allgemeinen Relativitätstheorie

Eine physikalische Größe wird durch ihre operationale Definition eingeführt.

Ja. Exzellent. Und physikalische Größen würden Fakten beinhalten wie, ob ein Beobachter ein Signal zwischen dem Empfang von zwei anderen Signalen empfängt oder eine Markierung zwischen zwei anderen Markierungen sieht (Uhren und Lineale sind nach diesen Prinzipien konstruiert).

In der Allgemeinen Relativitätstheorie verwenden wir eine Differenzialmannigfaltigkeit, um die 4-dimensionale Raumzeit [...]

Richtig.

[...] und um einen Punkt darin zu identifizieren, verwenden wir einen Bezugsrahmen.

Nein. Die bereitstehende Mannigfaltigkeit hat Punkte, die in der Relativitätstheorie Ereignisse genannt werden. Sie können sie beliebig beschriften. Genauso wie man Beobachtern Namen wie Alice oder Bob geben könnte. Dies kann Ihnen bei der Kommunikation helfen. Aber jemandem, der nicht weiß, wie Sie die Etiketten zugewiesen haben, einfach nur das Etikett zu sagen, ist nicht physisch.

Dieser Rahmen besteht aus einem Ursprung und vier Koordinaten, der Zeit und den drei räumlichen Koordinaten.

Das klingt nach einem globalen Rahmen in der speziellen Relativitätstheorie.

Wenn wir ein Ereignis in der Raumzeit praktisch identifizieren wollen, wie [können] wir dann seine Raumzeitkoordinate, insbesondere die Zeit, messen?

Koordinaten sind an sich nicht physikalisch. Wenn Sie zwei Punkte betrachten, können Sie ihre x-Koordinate nicht bestimmen, vielleicht ist einer von ihnen der Ursprung, vielleicht der andere, es gibt viele mögliche Koordinatensysteme. Es ist keine operative Definition.

Sie könnten nach dem sogenannten Intervall zwischen zwei Ereignissen entlang eines Pfades fragen, und wenn die Ereignisse infinitesimal nahe beieinander lägen, könnten Sie über das Intervall zwischen ihnen sprechen, ohne einen Pfad angeben zu müssen.

Aber Sie können nicht auf die Physik schauen und aus der Physik etwas willkürlich herausfinden, wie die Koordinaten in einem Koordinatensystem sind.

Dies geschah bereits in der regulären Newtonschen Mechanik, der Ursprung konnte überall sein, die x-Achse konnte in jede Richtung zeigen.

Mit einer Uhr in der Nähe des räumlichen Ortes des Geschehens? Mit Hilfe eines bestimmten "Spiels" von Lichtsignalen?

Das kann Ihnen helfen, das Intervall zwischen zwei Ereignissen zu finden. Es kann Ihnen immer noch nicht sagen, ob das eine oder andere Ereignis der Ursprung in einem beliebigen b-Koordinatensystem ist, da es Koordinatensysteme gibt, in denen eines der Ursprung ist, andere, wo das andere ist, und noch mehr, wo keines von beiden es ist, sogar koordiniert Flecken, bei denen kein Ereignis der Ursprung ist.

Erinnern Sie sich an die Newtonsche Mechanik, als der Ursprung überall sein konnte und die x-Achse in jede Richtung zeigen konnte? In der speziellen Relativitätstheorie kann der Ursprung ein beliebiges Ereignis sein und die Zeitachse kann in jede zeitähnliche Richtung zeigen (jede Richtung, die die Weltlinie eines massiven Beobachters tangiert oder gleichwertig eine Tangente mit einem zeitähnlichen Vorzeichen für das quadrierte Intervall hat).

Dies überträgt sich auf die allgemeine Relativitätstheorie, Sie haben keine globalen Rahmen (das bedeutet die allgemeine Relativitätstheorie), aber es ist immer noch so, dass die Tangente an einen Beobachter (egal wie schnell sie sich mit Unterlichtgeschwindigkeit bewegt oder welche Richtung der Geschwindigkeit) kann eine Zeitachse für ein lokales Koordinatenfeld sein.

Bei einem gegebenen Ereignis könnte es also der Ursprung eines lokalen Koordinatenpatches sein oder nicht. Seine Koordinaten könnten also Null sein ... oder nicht. Und es könnte der Ursprung in einigen Koordinatenfeldern sein und nicht der Ursprung in anderen.

Und Koordinatenunterschiede sind physikalisch nicht sinnvoll. Tatsächlich schreiben Sie die Metrik in ein Koordinatensystem, weil Sie damit physikalische Dinge aus dem Koordinatensystem berechnen können.

Die Physik ist also "Koordinatensystem + Metrik in diesem Koordinatensystem = physikalisch sinnvolle Ergebnisse".

Welche Art von physikalisch aussagekräftigen Ergebnissen können Sie erzielen? Bei einem gegebenen Koordinatenpfad (einer parametrisierten Sammlung von Koordinaten) können Sie die Metrik verwenden, um herauszufinden, ob der Pfad ein möglicher Pfad eines Beobachters ist, indem Sie sehen, ob das Intervall der Tangente an die Kurve zeitähnlich ist (Metriken ermöglichen es Ihnen, Intervalle zu berechnen). Wenn dies der Fall ist, können Sie es in regelmäßige Teile zerlegen, von denen jedes die gleiche Bogenlänge hat, wobei die Bogenlänge gemessen wird, nicht durch Koordinatenunterschiede, sondern durch das Intervall, das Sie aus der Metrik erhalten.

Jetzt können Sie dies auf Uhren beziehen. Wenn eine Uhr diesen Pfad durchläuft, tickt sie auf jedem dieser Pfade gleich viel.

Jetzt können Sie also vorhersagen, wie viele Takte zwischen dem Ereignis liegen, an dem Ihr Pfad zwei andere Ereignisse schneidet. Das ist etwas Körperliches. Und diese Vorhersage kommt immer gleich heraus, egal welches Koordinatensystem Sie verwendet haben.

Wenn Sie ein anderes Koordinatensystem verwenden, sind alle Koordinaten unterschiedlich, und die Metrik hat möglicherweise andere Werte, aber Sie berechnen das Intervall zwischen Ereignissen auf die gleiche Weise. Sie werden sich also einigen, ob die Tangenten zeitähnlich sind, und Sie werden sich darüber einigen, welche Ereignisse eine bestimmte Latte von Ereignis A zu Ereignis B in 2, 3, ... oder 100 Stücke gleicher Bogenlänge zerlegen, wenn die Bogenlänge durch das Intervall gemessen wird.

Sie einigen sich also auf die Physik, unabhängig von Ihrem Koordinatensystem. Das ist großartig. Aber es bedeutet, dass es kein Experiment gibt, das Sie durchführen können, um "die" Koordinaten eines Ereignisses herauszufinden, weil sie nicht einzigartig oder physikalisch sind.

Was Sie tun müssen, ist ein Modell zu machen. Sie machen ein mathematisches Ding und dann behaupten Sie, dass bestimmte Teile davon mit Dingen in der Realität übereinstimmen, die übereinstimmen, dann schauen Sie sich andere Teile des Modells an und extrahieren Ihre Vorhersagen daraus. Die Koordinaten, die Sie (falls vorhanden) in Ihrem Modell verwenden, sind irrelevant. Sicherlich verwenden Sie diejenigen, die sich sehr intuitiv anfühlen, um Ihnen das Leben zu erleichtern, aber das macht sie nicht physisch, sondern nur bequem für Sie.

Und ich sagte "wenn überhaupt", weil sogar die Verwendung von Koordinaten überhaupt nicht erforderlich ist. Alles, was Sie wirklich wissen wollen, ist, ob ein Ereignis zwischen zwei bestimmten Uhrticks passiert ist oder ob ein Lineal zwei bestimmte Markierungen auf beiden Seiten eines Objekts hat. Das sind die Dinge, die Sie im Labor haben. Wenn Sie das Lineal und die Uhren tatsächlich in Ihr Modell einfügen, sind diese Informationen bereits vorhanden und Sie müssen kein Koordinatensystem hinzufügen.

Die allgemeine Relativitätstheorie schränkt ein, welche Modelle Sie erstellen können, sie beschränkt Sie darauf, nur Modelle zu erstellen, die Einsteins Feldgleichung erfüllen. Sobald Sie eines davon haben, müssen Sie kein Koordinatensystem auswählen, wenn das Modell bereits die benötigten Informationen enthält.

Es gibt keine einfache Antwort auf Ihre Frage, denn es kommt darauf an.

Im Labor kann ich mir vorstellen, dass dieses Problem nur bei gravitativer Zeitdilatation auftritt, z. B. bei Experimenten mit Atomuhren oder GPS-Satelliten. In diesem Fall würde ich vermuten, dass wir EM-Signale (Licht oder Funk) verwenden und die bekannte Reisezeit korrigieren würden.

In astronomischen Kontexten ist das einzige offensichtliche Beispiel, das mir einfällt, der Gravitationslinseneffekt. In diesem Fall beobachten wir die Flugbahn des Lichts nicht direkt, sondern berechnen sie, indem wir beobachten, wie das Licht uns erreicht.

Beobachtungen ferner Ereignisse sind im Kontext der Allgemeinen Relativitätstheorie immer etwas zweifelhaft. Wir können jedes Ereignis einem Raumzeitpunkt in unserem Koordinatensystem zuordnen, aber die physikalische Bedeutung davon ist fraglich. Nur lokale Beobachtungen sind völlig eindeutig.