Das Zwillingsparadoxon verwendet einen Referenzrahmen, der dem Schiff folgt

Vielleicht ist es aufschlussreicher, das Ganze in einem Raum-Zeit-Diagramm zu betrachten. Wir haben den Erdrahmen mit Koordinaten$(t,x)$, und seine Flugbahn durch die Raumzeit ist die blaue Linie. Die Flugbahn des Raumschiffs ist die rote.

Gerade Weltlinien sind träge Bezugsrahmen, gekrümmte oder nicht gerade Weltlinien sind nicht träge Bezugsrahmen. Es ist sehr klar, dass das Raumschiff kein Trägheitsrahmen ist, da es eine gekrümmte Weltlinie hat, daher ist es unmöglich, einen am Schiff befestigten Trägheitsrahmen zu finden, in dem es während der gesamten Reise einen Ruhezustand beanspruchen kann, wie Sie es wollten Lösung zu sein.

Was Sie jedoch in Ihren Berechnungen berücksichtigt haben, ist die folgende Idee: Bei der Hinfahrt hat das Schiff einen Trägheitsrahmen$(t',x')$daran befestigt, wechselt das Schiff am Wendepunkt zu einem anderen Trägheitsrahmen$(t'',x'')$der sich mit der gleichen Geschwindigkeit wie bei der Hinfahrt in die entgegengesetzte Richtung bewegt.

Dieser Akt des Wechselns des Trägheitsrahmens ist Ihre Umkehr. Jetzt seit$S'$Und$S''$Sind zwei Trägheitsrahmen in Relativbewegung (sie bewegen sich gegeneinander), haben sie unterschiedliche Vorstellungen von Gleichzeitigkeit. Am Wendepunkt,$S'$behauptet, Ereignisse auf seiner violetten Zeitachse seien gleichzeitig. Nach dem Umschalten auf$S''$, wechseln Sie zu einer anderen Zeit- und Raumachse, wo die Ereignisse (oder Punkte) auf der grünen Linie gleichzeitig sind$S''$. Aus dem Diagramm geht sehr deutlich hervor, warum dieser Umschaltvorgang diese Zeitverschiebung erzeugt, die Ihnen so rätselhaft ist.

Zusammenfassend wird also die Zeitverschiebung durch das Umschalten zwischen zwei Trägheitsrahmen in Relativbewegung verursacht. Wenn Sie zwischen zwei verschiedenen Zeitachsen wechseln (und Raumachsen, aber darum geht es hier nicht), führt dies zu dieser Erdzeitverschiebung in die Zukunft.

Bearbeiten : Ich habe die Frage des OP falsch verstanden. Er wollte fragen, wie die Zeitverschiebung zur Erdzeit (das ist ca$15$Jahre) ist größer als die ganze Reise, die ist$10$Jahre. Nun, obwohl ich Ihre Berechnungen nicht überprüft habe, müssen Sie etwas falsch gemacht haben. Es ist ziemlich einfach, wie man die Verschiebung in der Zeit berechnet$t_\text{shift}$aus dem Diagramm. Die blaue Weltlinie besteht aus drei Teilen, dem ersten Teil, der vor dem Schnittpunkt der violetten Linie mit der blauen Linie liegt, die ich nennen werde$\Delta t$, und die Zeitverschiebung$t_\text{shift}$, und der letzte Teil, der nach dem Schnittpunkt zwischen der grünen Linie mit der blauen Linie liegt, die ich anrufe$\Delta t$da es aufgrund der Symmetrie aus dem Diagramm gleich dem ersten Zeitintervall ist.

Damit ist die gesamte Zeit der Erdreise:$t_\text{total}= \Delta t+ t_\text{shift}+ \Delta t=t_\text{shift}+2\Delta t$.

So dass:$t_\text{shift}=t_\text{total}-2\Delta t$.

$\Delta t$ist einfach die Zeit auf der Erduhr, zu der das Schiff den Wendepunkt erreicht hat (aus Schiffsperspektive), also:$\Delta t= 2.53/\gamma=2.53/2=1.26$

Deshalb:$t_\text{shift}=10-2(1.26)=7.48$.

So sollte die Verschiebung in der Zeit sein$7.48$vorausgesetzt, die ganze Reise auf der Erde ist$10$Jahre und das dauert$2.53$Jahre auf dem Schiff, um den Wendepunkt zu erreichen. Wiederholen Sie Ihre Berechnungen.

Weitere Bearbeitung: Ich werde analytisch berechnen, was die Zeitverschiebung ist.

Es sollte beachtet werden, dass das Raumschiff (das einen Ruhezustand beansprucht) am Wendepunkt Koordinaten haben wird$(t,x)=(2.53,0)$, Aufgrund der Zeitdilatation wird es das behaupten$\dfrac{2.53}{2}=1.26$Jahre sind auf den Uhren im Erdrahmen vergangen.

Dies unterscheidet sich jedoch von dem, was die Uhren im Erdrahmen anzeigen werden. Die Aufgabe wurde so gestellt, dass die Koordinaten der Erde und des Raumschiffs also zusammenfallen$(t,x)=(t',x')=(0,0)$.

Damit laut dem Raumschiff am Umkehrpunkt die Erduhr abgelesen wird$1.26$Jahren, und seine Position wird durch gegeben$-2.2$Lichtjahre. Aufgrund der Relativität der Gleichzeitigkeit sind jedoch die Uhren im Erdrahmen gemäß dem Schiffsrahmen nicht synchron, so dass die Uhr im Erdrahmen, die sich bei Alpha Centauri befindet, lesen wird$1.26+l_0v/c^2$Jahre, nicht$1.26$Jahre, wo$l_0$ist die Ruhelänge zwischen Erde und Alpha.

Dann wechselt das Raumschiff mit Geschwindigkeit zu einem anderen Frame$-0.87c$. Sie haben davon gesprochen, dass ein solcher Rahmen mit bewegt wird$0.99c$in Bezug auf den alten Raumrahmen und haben$\gamma=7.09$aber das ist hier völlig egal. Berechnungsrelevant ist, dass das Schiff jetzt gerade auf einen anderen Frame umgeschaltet hat, der mitfährt$-0.87c$gegenüber der Erde, oder mit anderen Worten, es beansprucht einen Ruhezustand, während sich die Erde mitbewegt$0.87c$in Bezug darauf.

Wir haben zuvor berechnet, dass die Uhr bei Alpha Centauri lesen wird$1.26+l_0v/c^2$, das ist immer noch so und hat sich nicht geändert. Aufgrund dieses Rahmenwechsels wird die Uhr auf der Erde jedoch nicht mehr angezeigt$1.26$Jahre, wird es lesen$1.26+l_0v/c^2+l_0v/c^2$Jahre, das ist die Zeit bei alpha centuri$1.26+l_0v/c^2$zuzüglich der Zeitverschiebung$l_0v/c^2$aufgrund der Relativität der Gleichzeitigkeit.

Die Zeitverschiebung auf der Erduhr ist die Differenz zwischen dem, was die Uhr anzeigte, als sich das Raumschiff mitbewegte$0.87c$und dann umgeschaltet$-0.87c$, das ist$t_\text{shift}= 1.26+l_0v/c^2+l_0v/c^2 -1.26=2l_0v=2(4.39)(0.87)=7.6$Jahre wie zuvor berechnet.

Die Achse der Gleichzeitigkeit, oder mit anderen Worten, die Menge der gleichzeitigen Ereignisse, gemessen im Ruhesystem des Schiffes, ändert sich tatsächlich plötzlich, wenn wir umkehren. Dies liegt daran, dass es von Ihrem Referenzrahmen abhängt. Es gibt keinen einzigen Trägheitsrahmen, der während der gesamten Reise beim Schiff bleibt; Sie können entweder akzeptieren, dass der Rahmen nicht inertial ist, was es viel schwieriger macht, Gleichzeitigkeit zu definieren, oder Sie können Rahmen wechseln, während Sie umkehren. Aber wenn Sie Frames wechseln, ändert sich auch die Achse der Gleichzeitigkeit, weil es nicht real ist: Es hängt von Ihrem Frame ab.

Diese Art von "Paradoxon" wird am besten gehandhabt, wenn Sie vergessen, irgendeinen Sinn für Gleichzeitigkeit zu haben, denn wie Sie sehen können, ist dies eine knifflige Vorstellung. Es ist besser, in Ereignissen und Raumzeitdiagrammen zu denken. Tatsächlich kann Ihnen das Zeichnen eines Diagramms helfen zu verstehen, warum sich die Gleichzeitigkeit plötzlich ändert, wenn Sie umkehren.