Relativgeschwindigkeit aus Raum-Zeit-Diagramm

Das Problem ist, dass Ihr Raumzeitdiagramm falsch ist: Sie verwenden die euklidische Geometrie, wenn Sie Minkowski verwenden sollten. Das eigentliche Diagramm sieht, wenn Sie die schlechte Bildqualität verzeihen, in etwa so aus:

wo ich das gezeichnet habe$t^2 - x^2 = \pm 1$Hyperbeln, und die Winkel gehorchen$\tan \alpha = v_1$Und$\tan \beta = v_2$. Beachten Sie, dass Einheitsvektoren in Bezug auf die Minkowski-Metrik eine Einheitslänge haben, aber nicht in Bezug auf die euklidische Metrik: Sie liegen auf einer Hyperbel, nicht auf einem Kreis.

Wenn Sie sehen möchten, wie die Dinge von Frame 1 aus aussehen, müssen Sie alles entlang der Hyperbeln nach außen verschieben:

wo jetzt$\delta$ist der unbekannte Winkel, den wir finden wollen. Um es geometrisch zu finden, müssen wir jedoch zuerst etwas Algebra betreiben, da die Geometrie hyperbolisch ist und nicht dem entspricht, was passiert, wenn wir auf Papier zeichnen. Und die entscheidende Tatsache, die wir brauchen, ist die, wenn eine Geschwindigkeit gegeben ist$v$wir definieren die Schnelligkeit $\eta$von$v = \tanh \eta$, so dass$\eta$geht von null bis unendlich als$v$von null auf eins geht, dann addieren sich bei Lorentz-Transformationen einfach Schnelligkeiten. Dies ist in gewissem Sinne immer noch geometrisch, da die Schnelligkeit ein Parameter entlang der Hyperbeln ist, obwohl es nicht die übliche Bogenlänge ist.

Daraus ist die Geschwindigkeitsadditionsformel einfach, wenn wir unsere hyperbolischen Identitäten kennen: Da Schnelligkeiten einfach addieren und subtrahieren, haben wir das$\eta_{21} = \eta_2-\eta_1$, Und