Reduzieren der Allgemeinen Relativitätstheorie auf die Spezielle Relativitätstheorie im Grenzfall

Wenn Sie sagen "Wie können wir die Lorentz-Transformation aus der Allgemeinen Relativitätstheorie ableiten", fragt dies wirklich "Wie ist die Minkowski-Metrik eine Lösung der Vakuum-Einstein-Gleichung", denn die Spezielle Relativitätstheorie ist nur die durch die Minkowski-Metrik definierte Geometrie.

Nimm die Einstein-Gleichung und schalte die Schwerkraft per Einstellung aus$G = 0$, erhalten Sie die Vakuum-Einstein-Gleichung$G_{a b} = 0$. Die Minkowski-Metrik ist eine Lösung dieser Gleichung, aber natürlich gibt es noch viele andere. Aus Ihrer Frage geht hervor, dass Sie hoffen, dass sich die Einstein-Gleichung ohne Schwerkraft vereinfacht, und dies wird deutlich machen, wie die spezielle Relativitätstheorie entsteht. Dem ist leider nicht so, denn auch ohne Masse, bzw$G$auf Null gesetzt, sind weiterhin Schwerewellen erlaubt.

Ich glaube nicht, dass es eine Möglichkeit gibt, die Einstein-Gleichung zu vereinfachen, um die Minkowski-Metrik zur einzigen Lösung zu machen. Sie können verlangen, dass die ersten Ableitungen der Metrik verschwinden, aber dies ist wirklich die Lösung für den flachen Raum, indem Sie verlangen, dass der Raum nicht gekrümmt ist, was eine Art Tautologie ist. Das Problem ist, dass SR die Minkowski-Metrik eine Annahme ist, dh es ist, wo Sie anfangen. In GR ist die Minkowski-Metrik nur eine von vielen Lösungen, daher gibt es nichts Grundlegendes daran.

Werfen Sie einen Blick auf http://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_tensor , wenn Sie mit dem Einstein-Tensor herumspielen möchten, um zu versuchen, die Minkowksi-Metrik zu extrahieren.

Wenn Sie eine Raumzeit nehmen, deren Metrik eine Lösung von Einsteins Gleichungen ist, dann einen Punkt in dieser Raumzeit auswählen und dort ein lokal inertiales Koordinatensystem einführen, kann die Metrik an diesem Punkt in die Minkowski-Form gebracht werden. Wenn Sie in einem lokal inertialen Rahmen arbeiten, sehen Sie effektiv, was frei fallende Beobachter sehen würden - Sie beseitigen die Auswirkungen der Schwerkraft, indem Sie mit ihr fallen. Damit dies vollumfänglich funktioniert, muss man sich auch auf einen verschwindend kleinen Bereich beschränken, sonst machen sich die Gezeiteneffekte der Schwerkraft bemerkbar und die Metrik weicht wieder von den Minkowski-Werten ab.

Natürlich ist die Menge der lokalen Trägheitskoordinaten nicht eindeutig, aber die Transformation von einer Menge zur anderen müsste die Minkowski-Metrik erhalten, dh es wären Lorentz-Transformationen. In diesem einschränkenden Sinne (Inertialrahmen, infinitesimal kleiner Bereich) "reduziert" sich GR auf SR, und die von GR zugelassenen allgemeinen Koordinatentransformationen werden auf die Lorentz-Transformationen von SR beschränkt.

Hier ist eine mathematisch strenge Ausarbeitung der Antwort von twistor59, die Einsteins Feldgleichungen überhaupt nicht erwähnt.

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Lassen$(M,g)$eine beliebige Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit sein und lassen$p \in M$. Nehme an, dass$(U,\phi: U \to \mathbf{R}^{4})$und$(V,\psi: V \to \mathbf{R}^{4})$sind zwei lokale Koordinatenkarten von$M$die die folgenden beiden Eigenschaften erfüllen:

• $p \in U \cap V$.
• Vermietung$\phi = (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})$und$\psi = (y^{0},y^{1},y^{2},y^{3})$, wir haben $$\forall a,b \in \{ 0,1,2,3 \}: \qquad g \! \left( \! \left. \frac{\partial}{\partial x^{a}} \right|_{p}, \left. \frac{\partial}{\partial x^{b}} \right|_{p} \right) = \eta_{a b} = g \! \left( \! \left. \frac{\partial}{\partial y^{a}} \right|_{p}, \left. \frac{\partial}{\partial y^{b}} \right|_{p} \right),$$ wo$\eta_{a b}$bezeichnet das innere Minkowski-Produkt$\eta: \mathbf{R}^{4} \times \mathbf{R}^{4} \to \mathbf{R}$in Komponentenform.

Lassen$X \in T_{p} M$, dh,$X$liegt im Tangentialraum zu$M$bei$p$. Es ist ein grundlegendes Ergebnis der Differentialgeometrie, dass$\left( \! \left. \dfrac{\partial}{\partial x^{a}} \right|_{p} \right)_{a = 0}^{3}$und$\left( \! \left. \dfrac{\partial}{\partial y^{b}} \right|_{p} \right)_{b = 0}^{3}$sind Grundlagen für bestellt$T_{p} M$, also gibt es Skalare$\lambda^{0},\lambda^{1},\lambda^{2},\lambda^{3}$und$\mu^{0},\mu^{1},\mu^{2},\mu^{3}$so dass

$$\lambda^{a} \cdot \left. \frac{\partial}{\partial x^{a}} \right|_{p} = X = \mu^{b} \cdot \left. \frac{\partial}{\partial y^{b}} \right|_{p}.$$ Außerdem, $\mu^{b} = \lambda^{a} \left. \dfrac{\partial y^{b}}{\partial x^{a}} \right|_{p}$für jede $b \in \{ 0,1,2,3 \}$. Jetzt, $$\begin{align} g(X,X) & = g \! \left( \lambda^{a} \cdot \left. \frac{\partial}{\partial x^{a}} \right|_{p}, \lambda^{b} \cdot \left. \frac{\partial}{\partial x^{b}} \right|_{p} \right) \\ & = \lambda^{a} \lambda^{b} g \! \left( \! \left. \frac{\partial}{\partial x^{a}} \right|_{p}, \left. \frac{\partial}{\partial x^{b}} \right|_{p} \right) \\ & = \eta_{a b} \lambda^{a} \lambda^{b}; \\ g(X,X) & = g \! \left( \mu^{a} \cdot \left. \frac{\partial}{\partial y^{a}} \right|_{p}, \mu^{b} \cdot \left. \frac{\partial}{\partial y^{b}} \right|_{p} \right) \\ & = \mu^{a} \mu^{b} g \! \left( \! \left. \frac{\partial}{\partial y^{a}} \right|_{p}, \left. \frac{\partial}{\partial y^{b}} \right|_{p} \right) \\ & = \eta_{a b} \mu^{a} \mu^{b}. \end{align}$$ Wenn $T: \mathbf{R}^{4} \to \mathbf{R}^{4}$bezeichnet die lineare Abbildung, deren Matrixdarstellung ist $\left[ \! \left. \dfrac{\partial y^{b}}{\partial x^{a}} \right|_{p} \right]_{a,b = 0}^{3}$, dann $$(\spadesuit) \qquad \eta(\mathbf{v},\mathbf{v}) = g(X,X) = \eta(T(\mathbf{v}),T(\mathbf{v})),$$ wo $\mathbf{v} = (\lambda^{0},\lambda^{1},\lambda^{2},\lambda^{3})$und $T(\mathbf{v}) = (\mu^{0},\mu^{1},\mu^{2},\mu^{3})$. Jedoch, $X$ein beliebiger Tangentenvektor an ist $M$bei $p$, so $(\spadesuit)$gilt eigentlich für alle $\mathbf{v} \in \mathbf{R}^{4}$. Somit, $T: \mathbf{R}^{4} \to \mathbf{R}^{4}$legt den Ursprung fest und bewahrt Raum-Zeit-Intervalle, was dies automatisch impliziert $T$liegt eine Lorentz-Transformation vor $\mathbf{R}^{4}$.

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Die Lorentz-Transformationen können daher als Koordinatentransformationen bei einem Ereignis zwischen lokalen Trägheitsbezugsrahmen betrachtet werden.

Eine wohlbekannte Technik ist die Post-Minkowski-Approximation . Es gilt für die Schwachfeldgrenze der Allgemeinen Relativitätstheorie, und die Schwerkraft zeigt sich als Korrekturterm für die Minkowski-Metrik in Potenzen der Newtonschen Gravitationskonstante$G$.

Wenn zusätzlich zu den Befugnissen von$G$, erweitern Sie die Metrik in Potenzen von$\left( \dfrac{v}{c} \right)^{2}$(dh zusätzlich zu einem schwachen Gravitationsfeld betrachten Sie Zeitlupe), gelangen Sie zum postnewtonschen Regime.

Andere Antworten haben sich bereits mit der Beziehung zwischen der Allgemeinen Relativitätstheorie und der Minkowski-Metrik befasst, aber es scheint, dass Sie am meisten daran interessiert sind, von der Minkowski-Metrik zur Lorentz-Transformation zu gelangen. Also lass uns das tun.

Gegeben sei ein Satz von Koordinaten, in dem die Metrik die standardmäßige Minkowski-Form annimmt

$ds^2 = dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$

Sie möchten einen anderen Satz von Koordinaten finden, in dem die Metrik ebenfalls dieselbe Form annimmt

$ds^2 = d \bar{t}^2 - d \bar{x}^2 - d \bar{y}^2 - d \bar{z}^2$

Stellen Sie sich einen linearen Boost entlang der x-Achse vor. Wir wollen solche Koordinaten wählen$\bar{x} = 0$wo$x - vt = 0$; die allgemeine lösung ist:

$\bar{x} = \gamma(x - vt)$

$\bar{t} = at - bx$

wo$\gamma$,$a$, und$b$sind Unbekannte.

Dann

$dt^2 - dx^2 = d\bar{t}^2 - d\bar{x}^2$

$= (a dt - b dx)^2 - \gamma^2 (dx - v dt)^2$

$= (a^2 - \gamma^2 v^2) dt^2 - (\gamma^2 - b^2) dx^2 + (\gamma^2 v - ab) dx dt$

so

$a^2 - \gamma^2 v^2 = 1$

$\gamma^2 - b^2 = 1$

$\gamma^2 v - ab = 0$

so

$a = \sqrt{1 + \gamma^2 v^2}$

$b = \sqrt{\gamma^2 - 1}$

so

$\gamma^2 v = \sqrt{\gamma^2 v^2 + 1} \sqrt{\gamma^2 - 1}$

$\implies \gamma^4 v^2 = (\gamma^2 v^2 + 1)(\gamma^2 - 1) = \gamma^4 v^2 + \gamma^2 - \gamma^2 v^2 - 1$

$\implies \gamma^2(1 - v^2) = 1$

$\implies \gamma = \sqrt{\frac{1}{1-v^2}}$

Die Berechnung von a und b (Übung dem Leser überlassen) ergibt$a = \gamma$und$b = \gamma v$, damit

$\bar{t} = \gamma(t - vx)$

Abschluss der Lorentz-Transformation wie erwartet.