Wie ist Momenergy rahmenunabhängig?

Es gibt einige semantische Meinungsverschiedenheiten über die Bedeutung eines Vektors in der Physik (obwohl die Konzepte nicht umstritten sind).

1) Vektor als geometrisches Objekt oder "Pfeil"

Einige würden Ihnen sagen, dass die Mom-Energie, besser bekannt als Vierer-Impuls, wie ein Pfeil in der Raumzeit mit einer gewissen Größe und Richtung ist (tatsächlich ist die Größe$mc$und die Richtung tangiert die Weltlinie, wie Sie darauf hingewiesen haben). Wenn Sie Ihren Bezugsrahmen ändern, scheinen sich die Komponenten dieses Vierervektors zu ändern, da sich die Richtung des Pfeils relativ zu Ihnen zu ändern scheint. Aber der Pfeil hat sich nicht verändert ; es ist unveränderlich.

Wenn der Viererimpuls wirklich ein invariantes geometrisches Objekt ist, dann muss es sich wie eines unter Koordinatentransformationen verhalten. Erinnern Sie sich insbesondere aus der linearen Algebra daran, dass sich bei einem Basiswechsel auch die Koordinaten von Vektoren ändern; tatsächlich ändern sie sich durch Multiplikation mit dem Kehrwert der Basisänderungsmatrix. Dieses Verhalten bei Basiswechsel wird als Kontravarianz bezeichnet . Kontravariante Größen werden mit hochgestellten Indizes bezeichnet.

Ein "Referenzrahmen" in der Relativitätstheorie ist wirklich eine Auswahl von drei raumähnlichen Richtungen und einer zeitähnlichen Richtung als Basisvektoren, die Sie verwenden, um Punkten und Vektoren in der Raumzeit Koordinaten zuzuweisen. Ändere deinen Rahmen, und deine Basis ändert sich auch. In der speziellen Relativitätstheorie die Lorentz-Transformationsmatrix$\Lambda$gibt die Basisänderung in Bezug auf den Drehwinkel und die Beschleunigungsgeschwindigkeit Ihres Rahmenwechsels an. Also müssen sich die Komponenten des Vierer-Impulses mit transformieren$\Lambda^{-1}$. (*)

Wäre dies nicht der Fall, dann würden die Transformationseigenschaften der Koordinaten des Vierer-Impulses nicht mit dem Bild des Vierer-Impulses als unveränderlicher „Pfeil“ irgendwo da draußen in der Raumzeit übereinstimmen. Aber es ist der Fall, also können wir es so behandeln. In diesem Sinne können wir sagen, dass der Viererimpuls rahmenunabhängig ist.

2) Vektor als Folge von Komponenten

Andere identifizieren Vektoren mit ihren Komponenten. Wenn ich die Komponenten einer vektoriellen Größe messen soll$(1, 2, 3, 4)$, werde ich dann sagen, dass der Vektor ist $(1, 2, 3, 4)$, anstatt den Vektor als einen Pfeil in der Raumzeit zu betrachten, dessen Komponenten zufällig sind $(1, 2, 3, 4)$in was auch immer mein Bezugsrahmen sein mag . In dieser Ansicht ändert sich der Vektor tatsächlich , wenn ich meinen Bezugsrahmen ändere (schließlich besteht der Vektor aus den Komponenten, und die Komponenten ändern sich).

Wenn wir diesen Ansatz wählen, stellen wir Kontravarianz als Voraussetzung für einen Satz von vier Komponenten auf, um eine bedeutungsvolle physikalische Größe in der speziellen Relativitätstheorie zu bezeichnen, anstatt sie aus der unveränderlichen Natur eines geometrischen Objekts abzuleiten . Nun können wir nicht sagen, dass der Viererimpuls wirklich invariant oder rahmenunabhängig ist. Aber es ist kontravariant, und das ist gut genug. Die Relativitätsrechnung wird in Bezug auf kontravariante, invariante und kovariante Größen formuliert (siehe unten).

(*) Eigentlich ist die Lorentz-Transformationsmatrix so definiert, dass sich die Basisvektoren mit transformieren$\Lambda^{-1}$. Es ist so definiert, dass sich Koordinaten selbst, die auch in der speziellen Relativitätstheorie kontravariant sind, mit transformieren$(\Lambda^{-1})^{-1} = \Lambda$. Tatsächlich transformiert sich also auch der Vierer-Impuls mit$\Lambda$. Wir können uns aber auch dafür entscheiden, den Viererimpuls als Covektor (mit tiefgestellten Indizes) zu behandeln, in welchem ​​Fall sich seine Komponenten mit der Änderung der Basismatrix transformieren$\Lambda^{-1}$selbst, nicht seine Umkehrung$\Lambda$.