Lorentztransformationsparadoxon

Ich weiß also, dass die Entfernung für Adam im Referenzrahmen S 1,44⋅1012m beträgt und die Geschwindigkeit des Balls 0,385c beträgt

Das ist wahr.

Hier bricht meine Intuition, weil dies bedeutet, dass der Ball anscheinend weniger Zeit braucht, um Sam zu erreichen, als die Zeit, die er braucht, um 1,44⋅1012 m zu überqueren, wenn er eine Geschwindigkeit von 0,385 c hat.

Es muss nicht kreuzen$1.44 \cdot 10^{12}\; \mathrm{m}$nach Adam.

Denken Sie daran, laut Adam, während der Zeit, in der sich der Ball nach links bewegt$0.385c$, Sam fährt nach rechts$0.6c$; Der Ball legt nicht die gesamte anfängliche Trennungsdistanz zurück, bevor er Sam erreicht.

Man muss nur die Beziehung herstellen

$$\left(0.6 + 0.385\right) c\Delta t = 1.44 \cdot 10^{12}\; \mathrm{m}$$

die Flugzeit nach Adam zu finden

$$\Delta t = 4875\; \mathrm s$$

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aber warum gilt die Zeitdilatationsformel in diesem Fall nicht?

Die Zeitdilatationsformel gilt in diesem Fall , wenn man sie richtig anwendet. Die Zeitdilatationsformel bezieht die Koordinatenzeit auf die Eigenzeit (die verstrichene Zeit gemäß einer einzelnen Uhr).

In diesem Fall ist die relevante Eigenzeit die verstrichene Zeit gemäß der Balluhr . Dies ist eine Invariante, dh Adam, Sam und Leyla einigen sich auf die verstrichene Zeit gemäß dem Ball.

Nach der Zeitdilatationsformel ist die verstrichene Zeit nach der Kugeluhr

$$\Delta \tau = \frac{\Delta t}{\gamma_v}$$

Seit$\Delta \tau$invariant ist , haben wir dann

$$\frac{\Delta t'}{\gamma_{0.8c}} = \Delta \tau = \frac{\Delta t}{\gamma_{0.385c}}$$

oder

$$\Delta t = \frac{\gamma_{0.385c}}{\gamma_{0.8c}}\Delta t' = \frac{1.0835}{1.6667}7500 \; \mathrm s = 4875\; \mathrm s$$

Die Zeitdilatation besagt, dass Uhren in sich bewegenden Referenzrahmen langsamer laufen und daher kürzere Intervalle messen sollten

Das ist richtig; Wenn man die verstrichene Zeit nach dem Ball berechnet, ist sie tatsächlich kleiner als jede verstrichene Koordinatenzeit:

$$\Delta \tau = 4500 \; \mathrm s$$

Wie ich sehe, haben Sie Alfreds Antwort akzeptiert, aber für die Aufzeichnung ist es sehr riskant, Fragen wie diese (insbesondere in einer Prüfung) mithilfe der Zeitdilatations- / Längenkontraktionsformeln und Wellenfaktoren von zu beantworten$\gamma$um. Der Prüfer wird erwarten, dass Sie dies tun, indem Sie die Lorentz-Transformationen verwenden, und die Frage wurde normalerweise unter Berücksichtigung dessen entworfen.

In diesem Fall besteht der erste Schritt darin, die Geometrie im Ruhesystem von Layla und Sam zu zeichnen. Es sieht aus wie:

Wir nehmen das Bild von Layla und Sam als Ruhebild, also habe ich das genannt$S$. In diesem Rahmen sind Layla und Sam durch eine Distanz getrennt$d$($1.8 \times 10^{12}$m) und Layla wirft den Ball mit einer Geschwindigkeit$u$($0.8c$). So erreicht der Ball Sam$(t = d/u, x = d)$. Um die Frage zu beantworten, transformieren wir diese beiden Ereignisse einfach in Adams Rahmen$S'$.

Wie üblich machen wir uns das Leben leicht, indem wir unsere Koordinaten so wählen, dass die Ursprünge zusammenfallen, wenn Adam Layla passiert, und wir können dies ohne Verlust der Allgemeinheit als den Moment ansehen, in dem Layla den Ball wirft. Der Ball wird also auf den Raumzeitpunkt geworfen$(0, 0)$In$S$Und$S'$.

Jetzt transformieren wir den Punkt$(d/u, d)$aus$S$Zu$S'$. Eigentlich brauchen wir nur$t'$denn die Frage ist, wann Sam den Ball fängt, nicht wo . Also setzen wir unsere Zahlen einfach in die Lorentz-Transformation für die Zeit ein:

$$\begin{align} t' &= \gamma \left( t - \frac{vx}{c^2} \right) \\ &= \gamma \left( \frac{d}{u} - \frac{vd}{c^2} \right) \end{align}$$

Setzen Sie einfach die Werte für ein$u$,$d$Und$v$, und Sie werden feststellen, dass das Ergebnis 4875 Sekunden ist.

Ich kann nicht genug betonen, wie gefährlich es ist, die Zeitdilatationsformel zu verwenden, es sei denn, Sie verstehen wirklich, was Sie tun. Für erfahrene Physiker wie Alfred ist es in Ordnung, aber niemand beginnt so, und Ihre Verwirrung mit Alfreds Antwort veranschaulicht meinen Standpunkt. Im Gegensatz dazu ist die Verwendung der Lorentz-Transformationen, wie ich sie demonstriert habe, eindeutig und unkompliziert. Das einzig Schwierige ist, sich darüber im Klaren zu sein, welche Ereignisse Sie auswählen müssen.

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