Was mache ich falsch, wenn ich die Zeitdilatation mit dem Minkowski-Raum-Zeit-Diagramm beweise?

Question

Was mache ich falsch, wenn ich die Zeitdilatation mit dem Minkowski-Raum-Zeit-Diagramm beweise?

Yogesh Yadav

Stellen Sie sich zwei Ereignisse A und C vor. Sie haben den gleichen Wert x'und das Zeitintervall zwischen ihnen ist $\Delta \tau$ . Dies ist das richtige Zeitintervall zwischen den Ereignissen. Das Zeitintervall zwischen den Ereignissen im ct-xRahmen ist $\Delta t$ .

$\Delta \tau = t^\prime_c -t^\prime_a \\ \Delta t = t_c -t_b$

Unter Verwendung der Idee der invarianten Trennung kann ich schreiben

$c^2 (t_b - t_c)^2 - (x_b -x_c)^2 = c^2 (t^\prime_b - t^\prime_c)^2 - (x^\prime_b -x^\prime_c)^2 \\ c^2 (t_b - t_c)^2 - (x_b -x_c)^2 = c^2 (t^\prime_a - t^\prime_c)^2 - (x^\prime_b -x^\prime_c)^2 \\ c^2 (\Delta t)^2 = c^2 (\Delta \tau)^2 - (\Delta x^\prime)^2 \\$

Dann, wenn ich die Lorentz-Transformation für verwende $(\Delta x^\prime)^2$ , wir bekommen $\Delta t = \frac{\Delta \tau}{\gamma}$

Was mache ich hier falsch? Warum erhalte ich eine Zeitkontraktion statt einer Zeitdilatation?

MBN

Der

Δ x^{'}

$\Delta x'$ sollte null sein. In der Erklärung sagten Sie, dass die

x^{'}

$x'$ Koordinaten sind gleich.

Yogesh Yadav

x' sind für A und C gleich, nicht für B und C.

Knzhou

Warum vergleichst du

Δ τ

$\Delta \tau$ , das (gestrichene) Zeitintervall zwischen

a

$a$ Und

c

$c$ , mit

Δ t

$\Delta t$ , das Zeitintervall zwischen

b

$b$ Und

c

$c$ ? Wählen Sie einfach zwei Ereignisse aus.

DW

Es ist überhaupt nicht wichtig, aber nur damit Sie es wissen, das "offizielle" Symbol, nach dem Sie suchen, ist nicht "\triangle", sondern "\Delta". Spielt für diesen Beitrag keine Rolle (der Unterschied zwischen

△

$\triangle$ Und

Δ

$\Delta$ - und wir alle wissen, was Sie meinen), aber wenn Sie jemals LaTeX verwenden, um eine zu veröffentlichende Arbeit abzutippen, könnte es einen Privatdetektiv interessieren.

WillO

Für den Anfang, Ihr Ausdruck für

Δ t

$\Delta t$ scheint falsch. Wenn dies das Zeitintervall zwischen ist

A

$A$ Und

C

$C$ im ungrundierten rahmen sollte es sein

t_{c} - t_{a}

$t_c-t_a$ . Aber du hast

t_{c} - t_{b}

$t_c-t_b$ . Ist das nur ein Tippfehler?

heller Magier

Sie sollten nicht verwenden

Δ

$\Delta$ Aber

d

$d$ in deiner Gleichung. Was Sie als angeben

Δ x^{'}

$\Delta x'$ ist nicht dasselbe wie

Δ x^{'} = \frac{Δ x}{γ}

$\Delta x'= \frac{\Delta x}{\gamma}$ . Sie müssen verwenden

d x^{'}

$dx'$ was gleich ist

v d t

$vdt$ und gehe von dort aus (dividiere durch

c^{2}

$c^2$ und dann integrieren

heller Magier

Außerdem achten Sie auf Ihre Variablenzuweisung. Das gestrichene Bezugssystem ist im Prinzip dasjenige, in dem sich das umgestrichene bewegt.

Neil Libertine

Die Lorentztransformation ist nicht korrekt. Anstatt

x_{b} - x_{c} = 0

$x_b-x_c=0$ , setzen

x_{b}^{'} - x_{c}^{'} = 0

$x'_b-x'_c=0$ .

Antworten (2)

Was mache ich falsch, wenn ich die Zeitdilatation mit dem Minkowski-Raum-Zeit-Diagramm beweise?

Der $\Delta x'$ sollte null sein. In der Erklärung sagten Sie, dass die $x'$ Koordinaten sind gleich.
Warum vergleichst du $\Delta \tau$ , das (gestrichene) Zeitintervall zwischen $a$ Und $c$ , mit $\Delta t$ , das Zeitintervall zwischen $b$ Und $c$ ? Wählen Sie einfach zwei Ereignisse aus.
Es ist überhaupt nicht wichtig, aber nur damit Sie es wissen, das "offizielle" Symbol, nach dem Sie suchen, ist nicht "\triangle", sondern "\Delta". Spielt für diesen Beitrag keine Rolle (der Unterschied zwischen $\triangle$ Und $\Delta$ - und wir alle wissen, was Sie meinen), aber wenn Sie jemals LaTeX verwenden, um eine zu veröffentlichende Arbeit abzutippen, könnte es einen Privatdetektiv interessieren.
Für den Anfang, Ihr Ausdruck für $\Delta t$ scheint falsch. Wenn dies das Zeitintervall zwischen ist $A$ Und $C$ im ungrundierten rahmen sollte es sein $t_c-t_a$ . Aber du hast $t_c-t_b$ . Ist das nur ein Tippfehler?
Sie sollten nicht verwenden $\Delta$ Aber $d$ in deiner Gleichung. Was Sie als angeben $\Delta x'$ ist nicht dasselbe wie $\Delta x'= \frac{\Delta x}{\gamma}$ . Sie müssen verwenden $dx'$ was gleich ist $vdt$ und gehe von dort aus (dividiere durch $c^2$ und dann integrieren
Außerdem achten Sie auf Ihre Variablenzuweisung. Das gestrichene Bezugssystem ist im Prinzip dasjenige, in dem sich das umgestrichene bewegt.
Die Lorentztransformation ist nicht korrekt. Anstatt $x_b-x_c=0$ , setzen $x'_b-x'_c=0$ .

udrv · Answer 1

Also, nur um Ihren Ansatz zu verdeutlichen:

Sie nehmen die Ereignisse A und C, die am selben Ort stattfinden $x'_a = x'_c$ aber andere zeiten $t'_a$ Und $t'_c$ im grundierten Rahmen. Sie nehmen auch Ereignis B, das zur gleichen Zeit wie A im grundierten Rahmen auftritt, $t'_b = t'_a$ , aber an derselben Stelle wie C im nicht grundierten Rahmen, $x_b = x_c$ . Für die Ereignisse B und C wenden Sie dann die Invarianz des Raum-Zeit-Intervalls an

C^{2} (T_{B} - T_{C})^{2} - (X_{B} - X_{C})^{2} = C^{2} (T_{B}^{'} - T_{C}^{'})^{2} - (X_{B}^{'} - X_{C}^{'})^{2}

$c^2 (t_b - t_c)^2 - (x_b -x_c)^2 = c^2 (t^\prime_b - t^\prime_c)^2 - (x^\prime_b -x^\prime_c)^2$ und im Hinblick auf

x_{b} = x_{c}

$x_b = x_c$ ,

t_{c}^{'} = t_{a}^{'}

$t'_c = t'_a$ , erhalten

C^{2} (T_{B} - T_{C})^{2} = C^{2} (T_{A}^{'} - T_{C}^{'})^{2} - (X_{B}^{'} - X_{C}^{'})^{2} C^{2} (Δ T)^{2} = C^{2} (Δ τ)^{2} - (Δ X^{'})^{2}

$c^2 (t_b - t_c)^2 = c^2 (t^\prime_a - t^\prime_c)^2 - (x^\prime_b -x^\prime_c)^2\\ c^2 (\Delta t)^2 = c^2 (\Delta \tau)^2 - (\Delta x^\prime)^2 \\$ Zuletzt die Lorentz-Transformation von

Δ x^{'} = x_{b}^{'} - x_{c}^{'}

$\Delta x' = x^\prime_b -x^\prime_c$ gibt

Δ x^{'} = γ (x_{b} - v t_{b}) - γ (x_{c} - v t_{c}) \equiv γ v Δ t

$\Delta x' = \gamma(x_b - v t_b) - \gamma(x_c - v t_c) \equiv \gamma v \Delta t$ , und Sie schließen richtig daraus

c Δ t = c Δ τ / γ

$c\Delta t = c\Delta \tau/\gamma$ .

Dein "Problem" ist das unabhängig von der Substitution $t'_c = t'_a$ deine endgültige Beziehung gibt es noch $(t_b - t_c) = \gamma(t'_b - t'_c)$ . Fassen wir zusammen, was wir haben:

Wenn wir die Ereignisse B und C im Rahmen ohne Strich verwenden, aber A und C im Rahmen mit Strich, finden wir das

„Das Zeitintervall zwischen den Ereignissen B und C, die an der gleichen Stelle im nicht gestrichenen Rahmen auftreten, erscheint zeitverlängert gegenüber dem Zeitintervall zwischen Ereignis C und einem Ereignis A, das im gestrichenen Rahmen an derselben Stelle wie C, aber zur gleichen Zeit wie B auftritt ".

Die letzte Information, „gleichzeitig im grundierten Rahmen wie B auftretend“, ist die entscheidende: Wir können Ereignis A durch jedes andere Ereignis an jedem beliebigen Ort ersetzen, solange es „im grundierten Rahmen bei auftritt zur gleichen Zeit wie B“.

Andernfalls, wenn wir auf Ereignis A verzichten und uns einfach nur auf die Ereignisse B und C beziehen, finden wir das einfach

„Das Zeitintervall $(t_b - t_c)$ zwischen zwei Ereignissen B und C, die an der gleichen Stelle im nicht gestrichenen Einzelbild auftreten, erscheint im gestrichenen Einzelbild zeitgedehnt".

Typische Zeitdilatation. Überprüfen!

Paul T. · Answer 2

Beim Zeitvergleich im Kontext der Zeitdilatation vergleichen Sie das Zeitintervall zwischen zwei Ereignissen. Die beiden Ereignisse müssen in jedem Referenzrahmen die gleichen zwei Ereignisse sein.

Konzentrieren wir uns also auf das Zeitintervall zwischen den Ereignissen $A$ Und $C$ . Durch Invarianz des Raumzeitintervalls:

- C^{2} Δ T^{2} + Δ X^{2} = - C^{2} Δ {T^{'}}^{2} + Δ {X^{'}}^{2} .

$-c^2 \Delta t^2 + \Delta x^2 = -c^2 \Delta {t^\prime}^2 + \Delta {x^\prime}^2.$

Im grundierten Bezugssystem $A$ Und $C$ sind colocated, also $\Delta x^\prime=0$ , und wir identifizieren $\Delta t^\prime=\Delta\tau$ als richtige Zeit.

- C^{2} Δ T^{2} + Δ X^{2} = - C^{2} Δ τ^{2}

$-c^2 \Delta t^2 + \Delta x^2 = -c^2 \Delta\tau^2$ Ein wenig Algebra bringt uns:

Δ T^{2} [1 - {(\frac{Δ X}{C Δ T})}^{2}] = Δ τ^{2} ⟹ Δ T = γ Δ τ .

$\Delta t^2 \left[ 1 - \left(\frac{\Delta x}{c \Delta t}\right)^2 \right] = \Delta\tau^2 \implies \Delta t = \gamma\Delta\tau.$

Was mache ich falsch, wenn ich die Zeitdilatation mit dem Minkowski-Raum-Zeit-Diagramm beweise?

Yogesh Yadav

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heller Magier

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udrv

Paul T.

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