Verwirrung bezüglich der gemeinsamen Definition der Eigenzeit?

Ich bin etwas verwirrt in Bezug auf eine häufig zitierte Definition der Eigenzeit. Zum Beispiel schreibt Sean Carroll in Spacetime and Geometry :

Die Eigenzeit zwischen zwei Ereignissen maß die verstrichene Zeit, wie sie von einem Beobachter gesehen wurde, der sich auf einem geraden Weg zwischen den Ereignissen bewegte

Ähnlich schreibt James Hartle in Gravity :

Eigenzeit - die Zeit, die von einer Uhr gemessen würde, die entlang der Weltlinie [zwischen zwei Ereignissen] getragen wird

Lassen Sie mich meine Verwirrung erklären: Ich werde versuchen, so genau wie möglich zu sein, daher könnte dieser Beitrag etwas lang werden.

Definition der Eigenzeit

Die Definition der Eigenzeit, mit der ich arbeite, lautet:

D τ 2 = − D S 2 / C 2
Wo D S 2 ist das Raumzeitintervall zwischen zwei Punkten.

Definition einer Uhr

Ich gehe von einem Modell eines Lichtsenders / -detektors und eines durch einen Abstand getrennten Spiegels aus L im j Richtung. Die Uhr sendet Licht aus, wandert zum Spiegel, prallt davon ab und wird vom Detektor erkannt. Die Uhr tickt jedes Mal, wenn ein Lichtimpuls vom Detektor erkannt wird. Somit ist jeder Tick durch ein Intervall von getrennt Δ T = 2 L / C . Daher misst die Uhr das koordinierte Zeitintervall zwischen einer Emission und einer Erfassung eines Impulses*.

Definition eines Zwischenrahmens

Wir richten räumliche Koordinaten über ein Gitter aus starren Stäben ein, wie es in den meisten Lehrbüchern üblich ist. Wir können unsere Zeitkoordinate definieren, indem wir eine Uhr verwenden, die in Bezug auf unser Gitter stationär ist. Somit wird ein Tick der Uhr (oben definiert) als eine Einheit der Koordinatenzeit betrachtet.

Lassen Sie uns die obigen Definitionen aus dem Weg räumen und die Eigenzeit zwischen zwei Ereignissen messen: der Emission (A) und der Detektion (B) eines Lichtimpulses unserer Uhr. Wir betrachten es in zwei Rahmen, nämlich dem Ruherahmen der Uhr und einem Rahmen, in dem sich die Uhr bewegt. Nun, die Weltlinie zwischen unseren beiden Ereignissen ist eine Flugbahn in der Raumzeit und sollte daher unabhängig von dem Koordinatensystem sein, das wir verwenden, um sie zu beschreiben; Das heißt, die Länge sollte in beiden von uns betrachteten Frames gleich sein.

Ruherahmen der Uhr

Im Ruhesystem sendet die Uhr einen Lichtimpuls und einige Koordinatenzeit später aus Δ T erkennt es. Wie weit (in der Raumzeit) hat sich die Uhr inzwischen bewegt? Da dies das Ruhesystem der Uhr ist, Δ X ich = 0 , So

Δ S 2 = − ( C Δ T ) 2 → Δ τ 2 = Δ T 2

Somit stimmt in diesem Fall das koordinierte Zeitintervall zwischen dem Aussenden und dem Erfassen des Impulses (für eine Uhr, die auf einer Weltlinie zwischen A und B getragen wird) genau mit der richtigen Zeit überein. Das macht angesichts der Definition durchaus Sinn.

Beweglicher Rahmen (wo meine Verwirrung liegt)

Stellen Sie sich einen Rahmen vor, der mit einer Geschwindigkeit verstärkt wird − v relativ zum Ruhesystem der Uhr in der X Richtung. In diesem Rahmen bewegt sich die Uhr mit Geschwindigkeit v im X Richtung. Die Raumzeitbahn der Uhr ist immer noch dieselbe (sie sollte unveränderlich sein; schließlich sollte sich der Weg der Uhr nicht ändern, je nachdem, wie wir darüber denken), aber unter den neuen Koordinaten sieht sie anders aus. Die Uhr, die entlang dieser Flugbahn getragen wird, tickt immer noch jedes Mal, wenn sie einen Puls erkennt. Bei diesen Koordinaten erkennt die Uhr beispielsweise einen Impuls nach Δ T ' . Dann das Raumzeitintervall dazwischen A Und B Ist

Δ S 2 = − ( C Δ T ' ) 2 + ( Δ X ' ) 2
was sich auf (bemerkt Δ X ' = v Δ T ' )
Δ S 2 = − ( C Δ T ' ) 2 ( 1 − v 2 / C 2 ) → Δ τ = Δ T ' 1 − v 2 / C 2

was das Standardergebnis ist, dass eine sich bewegende Uhr langsamer läuft.

Meine Verwirrung besteht darin, dass in diesem Fall die Zeit, die in diesem Rahmen von der Uhr gemessen wird, von A nach B getragen wird Δ T ' , NICHT Δ τ . Obwohl die Uhr auf derselben Raumzeitbahn (in verschiedenen Koordinaten beschrieben) getragen wird, läuft sie langsamer ( Δ T ' > Δ T = Δ τ ). Daher ist die von dieser Uhr gemessene Zeit nicht die richtige Zeit, obwohl sie auf der Weltlinie zwischen zwei Punkten liegt.

Ich weiß, dass mir hier bei den Definitionen etwas fehlt, aber ich kann nicht sagen, was. Wenn eine Uhr auf der Weltlinie zwischen zwei Ereignissen die Eigenzeit misst und die Eigenzeit unveränderlich ist, sollten Uhren, die sich zwischen A und B bewegen, im gleichen Intervall laufen, unabhängig davon, ob unser Koordinatensystem A und B an unterschiedlichen räumlichen Positionen hat. Was verursacht meine Verwirrung?

Antworten (1)

Die Eigenzeit entlang einer Weltlinie zwischen zwei Ereignissen ist wie die Entfernung entlang eines Pfades zwischen zwei Punkten. Die richtige Zeit ist von der Weltlinie abhängig – das ist der Uhreneffekt. Unterschiedliche Weltlinien von chronologisch zusammenhängenden Ereignissen A bis B haben unterschiedliche Eigenzeiten.

(Bei einer bestimmten Weltlinie von A nach B stimmen alle Beobachter über die auf dieser Weltlinie verstrichene Zeit überein. Für diese Weltlinie stimmen alle Beobachter über die Ablesungen der Uhr auf dieser Weltlinie überein.)

Das Raumzeit-[Quadrat-]Intervall ist wie der quadrierte Abstand zwischen zwei Punkten in der Ebene ( entlang einer geraden Linie genommen , die die Punkte verbindet). In der Minkowski-Raumzeit ist das Quadratintervall von chronologisch zusammenhängenden Ereignissen A nach B das Quadrat der Eigenzeit entlang der Trägheitsweltlinie von A nach B.

Ich glaube, ich verstehe diese Punkte. Meine Verwirrung kommt in Bezug darauf, was es bedeutet, „eine Uhr entlang einer Weltlinie zu tragen“. Eine sich bewegende Uhr tickt langsamer als eine stationäre Uhr, und die von einer solchen Uhr aufgezeichnete Koordinatenzeit ist nicht die richtige Zeit. In welchem ​​Sinne misst nun eine entlang einer Weltlinie getragene Uhr die Eigenzeit? Ich verstehe, wie das der Fall ist, wenn wir uns im stationären Rahmen der Uhr befinden. Wenn dies nicht der Fall ist, stimmt die Koordinatenzeit (gemessen von der Uhr) nicht mit der Eigenzeit überein.
Mit dem Tragen einer Uhr entlang einer Weltlinie meine ich, dass die Uhr [oder besser Armbanduhr] vom Beobachter getragen wird. Die Armbanduhr ruht also in Bezug auf den Beobachter und die Uhr und der Beobachter zeichnen dieselbe Weltlinie auf einem Raumzeitdiagramm. Diese Uhr misst also die Eigenzeit des Beobachters. Geometrisch misst diese Uhr die Minkowski-Bogenlänge der Weltlinie auf einem Raum-Zeit-Diagramm, genau wie ein Kilometerzähler eines Autos die Bogenlänge des Weges eines Autos auf der Straße misst.
Verwirrung bezüglich der gemeinsamen Definition der Eigenzeit?
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