Raumzeitintervallberechnung - Was mache ich falsch?

Ich berechne Raumzeitintervalle im Standardaufbau mit den Frames A und B,
wobei t = t' = 0 und x = x' = 0, und die gesamte Bewegung nur in x-Richtung erfolgt.

Die Objekte A und B bewegen sich mit relativer Geschwindigkeit v = 0,99 c, (was uns ergibt γ = 7.089 ) für eine Dauer, die A als 100 Sekunden wahrnimmt.

Ich muss das Raumzeitintervall berechnen, das die Objekte A und B aus jedem der Frames durchlaufen haben. Bedeutung, dh sB ist das Raumzeitintervall von B, berechnet aus dem Referenzrahmen A, und s'A ist das Raumzeitintervall von A, berechnet aus B (der Apostroph signalisiert, aus welchem ​​​​Rahmen wir berechnen).

Nun sollte das Raum-Zeit-Intervall von B aus Sicht des Bezugsrahmens A durchlaufen werden

S B 2 = ( C T ) 2 − X 2 = ( 100 C ) 2 − ( 99 C ) 2 = 199 C 2
Zeit beträgt 100 Sekunden von A aus gesehen, in dieser Zeit bewegt sich B mit Geschwindigkeit 0,99c 99 Lichtsekunden

Jetzt wissen wir, dass das, was A als Entfernung von 99 Lichtsekunden wahrnimmt, B als um den Faktor 6 zusammengezogen wahrnehmen wird γ , also werden sie diese Strecke in ihrer eigenen Zeit in kürzerer Zeit zurücklegen T ' = T / γ

S ' B 2 = ( 100 C / γ ) 2 = ( 14.1 C ) 2 = 199 C 2

so weit so gut, auch wenn ich mir nicht sicher bin, ob das richtig begründet ist

nun für das Raumzeitintervall von Punkt A, zunächst aus dem Bezugssystem von A :

S A 2 = ( 100 C ) 2 = 10 000 C 2

und sie aus dem Bezugsrahmen von B:

S ' A = ( 100 C / γ ) 2 − ( 99 C / γ ) 2 = 4 C 2

ganz andere Nummer!

Sollten sie nicht gleich sein, da das Raumzeitintervall unveränderlich ist?
Ich muss einen Fehler in meiner Argumentation gemacht haben, aber ich sehe nicht, wo, kann mir jemand helfen?

Antworten (1)

Sollten sie nicht gleich sein, da das Raumzeitintervall unveränderlich ist? Ich muss einen Fehler in meiner Argumentation gemacht haben, aber ich sehe nicht, wo, kann mir jemand helfen?

Ja, sie sollten gleich sein. Der Grund dafür, dass sie nicht gleich sind, liegt darin, dass Sie die Lorentz-Transformation falsch durchgeführt haben. Ich werde Ihnen zeigen, wo Sie den Fehler gemacht haben, aber ich werde auch zeigen, wie ich mit solchen Problemen umgehe, um sicherzustellen, dass solche Fehler so weit wie möglich vermieden werden.

Erstens haben Objekte Weltlinien, also haben sie eine unendliche Anzahl von Ereignissen auf jeder Weltlinie. Es gibt also nicht nur ein "Raumzeitintervall, das die Objekte durchlaufen". Um dies widerzuspiegeln, schreibe ich gerne die tatsächliche Weltlinie für die Objekte auf, wann immer es einfach ist. Es sieht so aus, als ob Sie das Bild von A als das ungrundierte Bild betrachten, also ist die Weltlinie von A im ungrundierten Bild ( C   T , 0 ) wo die erste Koordinate ist C T und die zweite Koordinate ist X . Ähnlich ist die Weltlinie von B ( C   T , 0,99   C   T ) .

Jetzt wollen wir das Raumzeitintervall berechnen, also müssen wir ein Ereignis auf jeder Weltlinie auswählen. Wir werden die Veranstaltungen unter auswählen T = 100 für jede. Wir werden die Ereignisse als kennzeichnen A Und B Verwenden Sie jeweils Kleinbuchstaben, um zwischen der gesamten Weltlinie für A und B und den spezifischen Ereignissen zu unterscheiden. So A = ( 100   C , 0 ) Und B = ( 100   C , 99   C ) , wieder alles im ungrundierten (A) Rahmen.

Lassen Sie uns also die Intervalle berechnen. Ich werde die Details überspringen, da Sie das richtig notiert haben, und wir bekommen S A 2 = 10000   C 2 Und S B 2 = 199   C 2 genau so wie du es vorher hattest.

An dieser Stelle wandeln wir uns vom ungrundierten Rahmen in den grundierten Rahmen um. Das Problem, bei dem Sie Ihren Fehler gemacht haben, war, dass Sie nicht die vollständige Lorentz-Transformation verwendet haben. Sie haben versucht, nur Zeitdilatation und Längenkontraktion zu berücksichtigen. Durch die Verwendung der vollständigen Lorentz-Transformation erhalten wir andere Werte als Sie hatten. Konkret bekommen wir A ' = ( 708.9   C , − 701.8   C ) Und B ' = ( 14.1   C , 0 ) . Beachten Sie insbesondere, dass diese beiden Ereignisse im nicht gestrichenen Frame nicht gleichzeitig sind, wo Ihre Berechnung fälschlicherweise zeigt, dass sie gleichzeitig sind. Dieser Fehler ist auf die Verwendung von Zeitdilatation und Längenkontraktion anstelle der Lorentz-Transformation zurückzuführen.

Schließlich können wir die Intervalle wie zuvor berechnen und erhalten S ' A 2 = 10000   C 2 Und S ' B 2 = 199   C 2 , was mit unseren vorherigen Berechnungen übereinstimmt, wie es sollte.

Danke für dein Rechenbeispiel. Ich hatte das Gefühl, dass die letzte Berechnung einige Probleme mit Zeit und Gleichzeitigkeit hat. Ich werde Ihre Antwort als Lösung für mein Problem akzeptieren. Aber ich verstehe immer noch nicht, welchen relativistischen Effekt ich berücksichtigen soll, wenn ich meine schrittweise Argumentation über Ereignisse durchführe. Ich versuche zu verstehen, was jenseits der vollständigen Lorentz-Transformation physikalisch passiert, was, wie Sie gezeigt haben, die richtigen Ergebnisse liefert
Sie müssen alle relativistischen Effekte berücksichtigen! Das ist der Zweck für die Verwendung der Lorentz-Transformation. Wenn ich mit neuen Studenten über die Relativitätstheorie spreche, empfehle ich tatsächlich, die Zeitdilatations- und Längenkontraktionsformeln überhaupt nicht zu verwenden. Es ist viel zu einfach zu versuchen, sie zu verwenden, wo sie nicht zutreffen. Wenn Sie die vollständige Lorentz-Transformation in einer Situation verwenden, in der Zeitdilatation oder Längenkontraktion angemessen ist, wird die Lorentz-Transformation automatisch korrekt vereinfacht. Sie sind besser dran, ein intuitives Verständnis der Lorentz-Transformation zu erlangen, als einen stückweisen Ansatz
Sie sagen also, eine Person sollte zuerst Mathematik lernen, bevor sie versucht zu verstehen, warum die Mathematik so ist? Ich verstehe, dass dies die Art und Weise ist, wie die chinesische Denkschule über das Lernen geht.
Nein, ich sage, dass dir zuerst die richtige Mathematik beigebracht werden sollte. Längenkontraktion und Zeitdilatation sind sehr fehleranfällig und sollten zuletzt gelehrt werden. Die Lorentz-Transformation ist allgemeiner, leistungsfähiger und weniger fehleranfällig und sollte zuerst gelehrt werden. Jedes Konzept sollte so gelehrt werden, dass verstanden wird, warum es so ist.
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