Warum ist diese nichtlineare Transformation keine Lorentz-Transformation? Es behält x2+y2+z2−c2t2=x′2+y′2+z′2−c2t′2x2+y2+z2−c2t2=x′2+y′2+z′2−c2t′2x^2 bei + y^2 + z^2 - c^2t^2 = x'^2 + y'^2 + z'^2 - c^2t'^2

Die flache Raumzeit in der speziellen Relativitätstheorie ist überall gleich, also müssen wir eine Translationssymmetrie in Zeit und Raum haben. Wenn wir mit zwei Ereignissen beginnen, die durch getrennt sind$\Delta x^\mu$in einem Frame die Trennung$\Delta x'^\mu$in einem verstärkten Rahmen sollte nur abhängen$\Delta x^\mu$, und nicht an$x^\mu$selbst. Dies ist nur für lineare Transformationen erfüllt.

Mit Ihren Transformationen könnten Beobachter einen privilegierten Punkt identifizieren. Dies verletzt das Relativitätsprinzip sogar für relativ zueinander ruhende Beobachter, da es darauf ankommt, wo sie ihren Ursprung haben.

1. Antwort auf Ihr spezifisches Beispiel: Angenommen, Sie und ich befinden uns beide an einem Punkt, den wir den Ursprung nennen. Sie reisen mit Geschwindigkeit$3/5$in Bezug auf mich. (Ich nehme$c=1$).

Unser Freund, meiner Meinung nach ein Lichtjahr entfernt, lässt ein Licht auf die Zeit blitzen$t=1/2$.

Laut Ihnen blinkt dieses Licht zur Zeit$i\sqrt{13/50}$.

Also sehe ich das Licht zu einer realen Zeit aufblitzen, während Sie es zu einer imaginären Zeit aufblitzen sehen, was auch immer das bedeutet. Vermutlich bedeutet dies, dass Sie es überhaupt nicht blinken sehen. So wissen Sie, dass Sie sich bewegen.

2. Antwort auf die allgemeinere Frage "warum linear?": Grundsätzlicher: Wenn wir beide beobachten, wie sich eine dritte Person mit einer anderen Geschwindigkeit vom Ursprung entfernt und wenn keine Kräfte auf diese Person einwirken, und wenn sie durchgeht beide$(x_1,t_1)$und$(x_2,t_2)$(meiner Meinung nach) dann müssen wir haben$x_1/t_1=x_2/t_2$. Und wenn Sie zustimmen müssen, dass er keine Kräfte hat, die auf ihn einwirken, dann müssen wir das auch haben$x_1'/t_1'=x_2'/t_2'$. Diese Überlegungen werden die Implikation erzwingen

Hier ist es gut, (x,y,z,t) als die Koordinaten im Minkowski-Raum und in einem Tangentialraum an jedem Punkt zu unterscheiden. Der Minkowski-Raum kommt zu Ihnen als Mannigfaltigkeit, aber der Tangentenraum kommt zu Ihnen als Vektorraum (daher ist es sinnvoll, nach Linearität zu fragen). Es ist dann ein glücklicher Fall, dass Sie sie identifizieren können. Dies ist, was die$\Delta x$von @knzhou Antwort versucht zu sagen, indem Sie Sie in den Vektorraum anstelle der Mannigfaltigkeit verschieben. Wenn Sie sich ansehen, in welche Kategorien Ihre Objekte fallen, wird es überhaupt keine Wahl, was Sie mit ihnen tun können.

Es gibt einen Satz von Zeeman, der unter sehr milden Annahmen beweist, dass zulässige Transformationen in der speziellen Relativitätstheorie Elemente der Lorentz-Gruppe sind. Dies wird zB in Nabers "The Geometry of Minkowski Spacetime" behandelt .

Zur Festlegung von Definitionen ist ein Beobachter zulässig , wenn er ein 3-dimensionales, rechtshändiges, kartesisches Raumkoordinatensystem hat, das auf einer vereinbarten Längeneinheit beruht und relativ zu dem sich Photonen geradlinig mit fester Geschwindigkeit in jede Richtung ausbreiten, sowie ein Ideale Standarduhr, die auf einer vereinbarten Zeiteinheit basiert, um den Ereignissen auf seiner Weltlinie, in der die Lichtgeschwindigkeit 1 ist, eine quantitative zeitliche Ordnung zu geben.

Die Abbildung von den Koordinaten eines zulässigen Beobachters auf die eines anderen bildet eine invertierbare Abbildung

Dabei wird folgende Annahme gemacht: Zwei beliebige zulässige Beobachter einigen sich auf die zeitliche Reihenfolge zweier beliebiger Ereignisse auf der Weltlinie eines Photons, dh wenn$x$und$y$sind Ereignisse in den Koordinaten eines Beobachters, und$\hat x$und$\hat y$die für einen anderen dann$x^0 - y^0$(Zeitkoordinaten) und$\hat x^0 - \hat y^0$haben das gleiche Vorzeichen (es wird nicht gefordert, dass die Zeiten gleich sind).

Lassen$v$sei der Geschwindigkeitsvektor des Photons (der konstant ist). Da in unseren Einheiten$c = 1$, wir haben$\|v\| = 1$. Wir haben für alle zwei Punkte$x$und$y$auf der Weltlinie des Photons that

zum$i = 1,2,3$. Folglich auf der Weltlinie des Photons

Das ist ein Kegel drin$\mathbb R^4$mit Scheitelpunkt bei$y$. Offensichtlich muss dieser Kegel in jedem Koordinatensystem erhalten bleiben, daher gilt dies auch für die Änderung der Koordinatenkarte$F$. Zeeman nannte eine solche Abbildung einen kausalen Automorphismus und bewies dies$F = T\circ K\circ\Lambda$, wo$T$ist eine Übersetzung u$K$ist eine Dilatation von$\mathbb R^4$, und$\Lambda\in O(1,3)$mit$\Lambda^0_0\ge 1$.

Beachten Sie, dass für dieses Ergebnis nicht einmal davon ausgegangen wird$F$ist kontinuierlich.