Kleppner-Ableitung der Lorentz-Transformation

Ich lese Kleppner. (Lorentz-Transformationen) Er sagte, wir nehmen die allgemeinste Transformation, die die Koordinaten eines gegebenen Ereignisses in den beiden Systemen in Beziehung setzt, zu der Form

X ' = A X + B T , j ' = j , z ' = z , T ' = C X + D T ,
und dann fand er die Konstanten heraus, indem er vier Fälle betrachtete, in denen wir a priori wissen, wie ein Ereignis in den beiden Systemen auftritt.

aber warum sind die Transformationen linear? Er sagte, eine nichtlineare Transformation würde die Beschleunigung in einem System vorhersagen, selbst wenn die Geschwindigkeit im anderen konstant wäre. Aber ich denke, das passiert, wenn wir die Lorentz-Kraft (ohne elektrisches Feld) betrachten, wenn v (Geschwindigkeit eines geladenen Teilchens) in einem Inertialrahmen Null ist, dann wirkt keine Lorentzkraft auf das Teilchen (daher hat das Teilchen in diesem Rahmen keine Beschleunigung). aber dies ist in anderen Trägheitsrahmen möglicherweise nicht der Fall (wo die Geschwindigkeit des geladenen Teilchens nicht Null ist)? was ist hier falsch?

Eine nichtlineare Transformation führt zu Pseudokräften, wenn die Koordinaten als euklidische Koordinaten interpretiert werden. Es ist nichts falsch daran, die Physik in solchen Koordinatensystemen zu analysieren, in der Tat tun verallgemeinerte Koordinaten in der Lagrange- und Hamilton-Mechanik genau das mit enormem Erfolg. Zum zweiten Teil der Frage: Ein Boost ändert nicht nur die Geschwindigkeit des Teilchens, sondern transformiert auch die Felder, so dass ein Teilchen, das in einem System nicht beschleunigt wird, auch in einem anderen nicht beschleunigt wird.
Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/12664/2451 und darin enthaltene Links.

Antworten (1)

Linearität folgt aus:

  1. Translationsinvarianz (wobei wir Translation in Raum und Zeit meinen): das Bild eines Vektors A B → Veranstaltungen beitreten A Und B unter einer Lorentz-Transformation L : R 1 + 3 → R 1 + 3 wird durch das Hinzufügen eines an beiden Enden hinzugefügten Offsets nicht beeinflusst A Und B ;

  2. Kontinuität : Die Lorentz-Transformation L : R 1 + 3 → R 1 + 3 ist eine kontinuierliche Karte.

Um zu sehen, wie sich das auswirkt, ist unser Übersetzungsinvarianz-Axiom kodiert:

(1) L ( X + Y ) − L ( Y ) = L ( X ) − L ( 0 ) ; ∀ X , Y ∈ R 1 + 3

Wenn wir definieren H : R 1 + 3 → R 1 + 3 von H ( Z ) = L ( Z ) − L ( 0 ) dann folgt allein aus (1):

(2) H ( X + Y ) = H ( X ) + H ( Y ) ; ∀ X , Y ∈ R 1 + 3

Dies ist die berühmte Cauchy-Funktionsgleichung, auf die verallgemeinert wird 3 + 1 Maße. Für eine reale Dimension ist die einzige kontinuierliche Lösung H ( X ) ∝ X ; es gibt andere Lösungen, aber sie sind überall diskontinuierlich, wie in Abschnitt 1.5 der Hewitt- und Stromberg-Referenz gezeigt wird, die ich am Ende gebe. Es ist einfach, das Hewitt-Stromberg-Argument auf eine beliebige Anzahl von Dimensionen zu erweitern, sodass wir angesichts unseres Kontinuitätspostulats haben müssen:

(3) L ( X ) = Λ X + Δ

Wo Λ ist ein linearer Operator - a 4 × 4 Matrix und Δ ein Raumzeit-Offset. Wenn wir unser Übersetzungsinvarianzpostulat erneut gegeben haben, können wir das Bild (3) verschieben, um den Offset aufzuheben, woraus wir sehen, dass wir ohne Verlust der Allgemeinheit die Lorentz-Transformation als linear und homogen annehmen können :

(4) L ( X ) = Λ X

Referenz

E. Hewitt & KR Stromberg, „ Real and Abstract Analysis “ (Graduate Texts in Mathematics), Springer-Verlag, Berlin, 1965. Kapitel 1, Abschnitt 5 konstruiert alle Lösungen der Cauchy-Gleichung F : R → R ; F ( X + j ) = F ( X ) + F ( j ) . Diese sind einen Blick wert, die diskontinuierlichen sind wirklich seltsam und wunderbar.

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