Metrischer Tensor: Warum auf kartesische/Minkowski-Koordinaten beziehen?

Warum bezieht sich der metrische Tensor immer auf kartesische Koordinaten?

Nehmen wir den einfachen Fall für den metrischen Tensor im 3D-Raum ohne Zeitdimension,

G ich J = [ 1 0 0 0 R 2 0 0 0 R 2 Sünde 2 ⁡ ( θ ) ]

Hier das Sünde 2 ⁡ ( θ ) ergibt sich daraus, dass wir ursprünglich die Abstände in kartesischen Koordinaten als abgeleitet haben D S = D X 2 + D j 2 + D z 2 und kennen dann die Transformation zwischen kartesisch und polar. Also die genaue Form von G ich J als Funktion seiner Zielkoordinaten, wird immer von den ursprünglichen Koordinaten abgeleitet, die die kartesischen sind.

Aber warum beschreiben wir den metrischen Tensor nicht anhand einiger anderer ursprünglicher Koordinaten, etwa hyperbolisch, und wandeln sie dann in sphärische um (abgesehen davon, dass es eine hässliche Angelegenheit wäre)?

Kartesische Koordinaten scheinen also irgendwie besonders zu sein, meine erste Idee war, dass sie vielleicht, weil sie ein Trägheitsbezugssystem sind, eine natürliche Basis für GR bieten würden. Dies kann aber nicht der Fall sein, da die Differentialgeometrie aus der reinen Mathematik stammt, die sich nicht um Trägheits-/Nicht-Trägheitsaussagen kümmert.

Also, was ist los, ist es die Tatsache, dass wir einfach zuerst die Mathematik im euklidischen Raum „entdeckt“ haben und später gelernt haben, wie man verschiedene Koordinatensysteme mit dem euklidischen in Beziehung setzt?

Dieselbe Frage erstreckt sich natürlich auch auf die Relativitätstheorie und die Minkowski-Koordinaten.

Die Koordinaten werden basierend auf der Symmetrie des Problems gewählt. Die Ausnutzung der Symmetrie vereinfacht die Berechnung. Wenn das Problem keine sphärische Symmetrie hat - sagen wir, es hat die Symmetrie einer flachen Scheibe -, dann sollten Sie keine sphärischen Koordinaten verwenden - Sie sollten stattdessen Polarkoordinaten verwenden. Und sphärische Koordinaten sind keine kartesischen Koordinaten – aber Sie können jederzeit von sphärischen oder polaren Koordinaten zurück in kartesische Koordinaten transformieren.
Sie müssen nicht mit kartesischen Koordinaten beginnen, Sie können die sphärischen metrischen Komponenten direkt aus der euklidischen Geometrie erhalten.
@ jacob1729: Ja, das ist der Punkt meiner Frage: Warum verwenden wir immer die euklidische Geometrie als Grundlage? Die funktionale Form von G ich J in jeder Literatur leitet sich von seiner euklidischen Ableitung ab. Das macht das euklidische System zu etwas Besonderem, und ich frage, warum es etwas Besonderes ist.
Notiz S = D X 2 + D j 2 + D z 2 ist falsch - es sollte lauten D S = D X 2 + D j 2 + D z 2 für kartesische Koordinaten. Es wäre metrischer Tensor G ich J = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] Der metrische Tensor in Ihrem Beitrag ist für sphärische Koordinaten. Sie sollten in der Lage sein, die Bogenlänge aufzuschreiben - D S für sphärische Koordinaten durch Betrachtung mit dem metrischen Tensor.
Der 3 Das dimensionale euklidische System ist etwas Besonderes, weil es der Raum ist, in dem Sie leben – und in dem physikalische Messungen integriert sind
@CinaedSimson: Das stimmt nicht. Es ist eine Darstellung von R 3 und damit willkürlich. Es sollte nichts Besonderes sein, mit Ausnahme der halbphilosophischen Fälle, wie sie in Q diskutiert werden.
@AtmosphericPrisonEscape: Die funktionale Form von gij in jeder Literatur leitet sich von seiner euklidischen Ableitung ab. Ich glaube nicht, dass das stimmt. Es scheint, als hätten Sie sich selbst von etwas überzeugt, das nicht wahr ist, und sich dann davon überzeugt, dass es keinen Sinn ergibt.
Die Physik ist unabhängig von der Darstellung. R 3 ist eine Darstellung von 3 dimensionaler euklidischer Raum. Wenn Sie über Geschichte, Mathematik oder Philosophie diskutieren wollen, dann sind Sie vom Thema abgekommen. Und ja, Menschen sind pragmatisch.
@BenCrowell: Möglicherweise wahr. Zumindest würde dann mein Denkprozess, der zu absurden Schlussfolgerungen führte, darauf hindeuten, dass meine Axiome falsch sind. Wissenschaft!
@AtmosphericPrisonEscape, aber "euklidisch" zu sein, hat nichts mit kartesischen Koordinaten zu tun! Es ist einfach die einzigartige Riemannsche Mannigfaltigkeit, die global flach und topologisch gleich ist R 3 .

Antworten (2)

Wenn ich deine Frage und dein Beispiel nicht falsch verstanden habe ...

Hier sind meine 2 Cent.

In Ihrem Beispiel verwenden Sie Kugelkoordinaten, um die Position von Punkten in einem ansonsten euklidischen Raum auszudrücken. Der Abstand zwischen Punkten ändert sich nicht und die Topologie der zugrunde liegenden Punktmenge wird nicht geändert. Nach einer Interpretation können Sie tatsächlich sich schneidende Hyperbeln usw. verwenden, um hyperbolische Koordinaten zu erstellen.

Aber ich denke, Sie fragen sich vielleicht, warum angenommen wird, dass der Weltraum eine zugrunde liegende (globale, wenn nicht lokale) Struktur von E3 hat? Ich stimme zu, warum? Die Antwort wäre Erfahrung. Diese Geometrie beschreibt unseren dreidimensionalen Raum, in dem wir Dinge beobachten. Zumindest war es bis Einstein gut genug. Jetzt wissen wir, dass die Lorentz-Invarianz Raum-Zeit-Intervalle bestimmt. Wir müssen die Isometrie immer noch in 3D beschreiben, da sie Teil vieler physikalischer Theorien ist. Denken Sie daran, dass die gesamte Differentialgeometrie aus einer Abstraktion oder Verallgemeinerung der euklidischen Geometrie entstanden ist, daher war es naheliegend zu sagen, dass die lokale Struktur der Metrik (Maß für Liniensegmente) diag(1, 1, 1) wäre. Die lokale Struktur der Raumzeit ist diag(-1, 1, 1, 1) oder diag(1, -1, -1, -1).

Wenn ich es falsch verstanden habe, kommentieren Sie es bitte und ich werde versuchen, mehr zu erklären.

Ich zielte eher auf Folgendes ab: Die genaue funktionale Form von G ich J von den verwendeten Koordinaten, wird immer auf Basis kartesischer Koordinaten abgeleitet. Warum kartesisch? Ich bin mir nicht sicher, ob dies die Antwort ist, ich werde die Frage entsprechend aktualisieren.
Ich bin mir nicht sicher, ob Ihre Vermutung stimmt. Wie basiert es auf kartesischen?
Ich denke, ich denke an diese „Proof-by-Picture“-Sitzungen, wenn Sie als Erstsemester anfangen und ee-Volumenelemente ableiten, indem Sie 3D-Volumen mit bogenlangen Seiten skizzieren D X 1 = R S ich N ( θ ) usw. Ich bin mir nicht sicher, wie Sie Bogenlängen (und damit den metrischen Tensor ...) in GR ohne Bilder und formaler ableiten würden.
Zum einen sollen diese Bilder veranschaulichen, wie ein unendlich kleiner Bogen, eine Fläche oder ein Volumen in gekrümmten Koordinaten ausgedrückt wird, die uns sagen, wie wir Punkte in einem ansonsten flachen Raum finden können. Zum anderen geht die Differentialgeometrie davon aus, dass lokale Nachbarschaften eines beliebigen Punktes "flach" aussehen. Dadurch können wir alles, was wir gelernt haben, übertragen. Das einzige potenzielle Problem ist der Umgang mit geschlossenen Verteilern, die mehr als einen Patch benötigen, um abgedeckt zu werden.
Dann wäre Ihre Antwort im Wesentlichen: "Weil das Euklidische zuerst kam und wir alles daraus konstruiert haben." Ich würde mich also über die Aliens wundern, die zuerst sphärische Koordinaten entdecken und dann daraus euklidische Geometrie konstruieren würden. Wie würde G ich J sehen? Wäre es nur unser G ich J ?
Guter Punkt. Wer weiß. Ich glaube nicht, dass solche Fragen wirklich beantwortet werden können. Wir könnten spekulieren, aber nie wirklich antworten.

Ich denke, es ist nur aus Gewohnheit. Einen praktischen Grund gibt es meines Erachtens nicht. Vielleicht ist es einfacher, die Bewegungsgleichungen zu erhalten, wenn Sie kartesische Koordinaten berücksichtigen. Beachten Sie jedoch, dass dieselben Bewegungsgleichungen in ähnlicher Weise in jeder Metrik erhalten werden können. Zum Beispiel, wenn Sie die folgende integrale Wirkung betrachten

S [ ϕ ] = ∫ Ω L ( X , ϕ , ∂ μ ϕ ) − G   D 4 X ,
so sind die entsprechenden Euler-Lagrange-Gleichungen
1 − G ∂ μ ( − G ∂ L ∂ ( ∂ v ϕ ) ) − ∂ L ∂ ϕ = 0.

Wenn Sie also eine Minkowski-Metrik in sphärischen Koordinaten annehmen,

G μ v = ( 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 R 0 0 0 0 − 1 R Sünde ⁡ θ ) ,
wessen
G = det ( G μ v ) = − R 2 Sünde 2 ⁡ θ ,
die erhaltene Bewegungsgleichung ergibt sich bereits direkt in Kugelkoordinaten, ohne dass weitere Transformationsbeziehungen verwendet werden müssen. Nichts hindert Sie daran, dies zu tun. Sie werden jedoch etwas mehr Arbeit haben.

Fairer Punkt, aber woher kennen wir dann die Form von G μ v , leitet sich das nicht letztlich aus irgendeiner Basistransformation ab, die von kartesisch nach sphärisch geht?
Form der Minkowski-Metrik in sphärischen Koordinaten ist durch sphärische Symmetrie, Bedeutung der Koordinaten und die Tatsache, dass die Krümmung Null ist, festgelegt. Sie benötigen kartesische Koordinaten nirgendwo in der Ableitung. Versuchen Sie, so etwas wie die allgemeinste Metrik in sphärischen Koordinaten zu googeln, und Sie sollten in der Lage sein, herauszufinden, wie es gemacht wird.
@AtmosphericPrisonEscape: Nun, die integrale Aktion ist in einer kovarianten Form aufgebaut und nicht toa. Dies geschieht so, dass sich am Ende die Form der Feldgleichungen nicht ändert, unabhängig von der jeweiligen Wahl der Koordinaten. Sie müssen sich also zunächst entscheiden, welches Szenario Sie mit Ihrer Theorie beschreiben möchten. Sobald dies erledigt ist, erstellen Sie Ihre Metrik basierend auf dieser Auswahl. Beispielsweise wird die Metrik durch die Beziehung konstruiert G μ v = e → μ ⋅ e → v . Wie Sie vielleicht bemerken, müssen Sie also zunächst eine Transformationsbeziehung zwischen den Basisvektoren kennen und von dort aus Ihre Metrik erstellen.
@lucenalex: Danke für deinen Kommentar. Ja, aber welche Transformationsbeziehung wäre das? Sie wechseln immer von a-Koordinate zu b-Koordinate. b ist in diesem Fall kugelförmig und a ist normalerweise kartesisch.
@AtmosphericPrisonEscape: Ich weiß nicht, ob ich deine Frage gut verstehe. Aber lass uns dorthin gehen! Ich würde sagen, dass jede Transformationsbeziehung zwischen den Koordinaten desselben Punktes der Minkowski-Raumzeit: von kartesisch zu sphärisch, von sphärisch zu zylindrisch usw. Aber es gibt etwas, das klargestellt werden muss, nämlich die Transformationen zwischen zwei unterschiedlichen Punkten Minkowskis Raumzeit, die berücksichtigt werden muss, sind die Lorentz-Transformationen, die sich von der Transformation an demselben Punkt der Minkowski-Raumzeit unterscheiden.
Metrischer Tensor: Warum auf kartesische/Minkowski-Koordinaten beziehen?
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