Was ist die physikalische Bedeutung der Eddington-Finkelstein-Koordinaten?

Eddington-Finkelstein-Koordinaten verwenden dieselben Positionskoordinaten wie Schwarzschild-Koordinaten, nur die Zeitkoordinate wird transformiert, also überlegen Sie sich zuerst, wie Sie Schwarzschild-Koordinaten auf physikalische Weise definieren können. Dieses pdf erklärt eine Möglichkeit, die Positionskoordinaten in Abschnitt 9.1.1 zu definieren:

• Wir können der radialen Koordinate eine praktische Definition zuweisen$r$von

1. Den Ursprung unserer Schwarzschild-Raumzeit in einer Reihe konzentrischer Sphären einschließend,

2. Messen einer Oberfläche für jede Kugel (konzeptionell durch Aneinanderlegen von Messstäben),

3. Radialkoordinate zuweisen$r$zu dieser Kugel mit Area =$4\pi r^2$

• Dann können wir Entfernungen und Trigonometrie verwenden, um die Winkelkoordinatenvariablen zu definieren$\theta$Und$\phi$.

Ebenso S. 159 des Buches Relativity, Gravitation and Cosmology von Robert Lambourne, das hier online einsehbar ist , erwähnt, dass die radiale Schwarzschild-Koordinate so konstruiert ist, dass sie eine Kugel mit Radius ist$r$wird einen angemessenen Umfang von haben$2\pi r$, was die Entfernung bedeutet, die gemessen wird, indem eine Reihe kurzer Lineale entlang eines großen Kreises auf der Kugel aneinandergereiht werden .

Ich nehme an, diese Methode setzt voraus, dass Sie wissen, wie Sie sicherstellen können, dass die von Ihnen konstruierten Oberflächen tatsächlich nicht rotierende Kugeln sind, aber ich vermute (obwohl ich nicht sicher bin), dass dies der Fall wäre, solange Beobachter an festen Positionen relativ zu Die Oberfläche sah alle die scheinbare Größe des Ereignishorizonts des Schwarzen Lochs (der das Licht von Dingen dahinter blockiert) als gleich (und zeitlich konstant), alle fühlten die gleiche richtige Beschleunigung, gemessen mit einem Beschleunigungsmesser, und alle maßen die Gezeitenkräfte in kleinen Regionen um sich herum gleich sein. Übrigens, sobald Sie festgestellt haben, dass Sie sich an einer festen Position in Schwarzschild-Koordinaten mit Radius befinden$r$, wenn Sie auch die richtige Beschleunigung gemessen haben$a$an Ihrem Standort, dann ist da die richtige Beschleunigung in Schwarzschild-Koordinaten gegeben durch$a = (1 - 2M/r)^{-1/2} M/r^2$(wie auf Seite 152 von Robert Walds Relativitätstheorie erwähnt , hier online ; beachten Sie, dass dieses Buch Einheiten verwendet, wo$G=c=1$, also wenn Sie diese Konstanten einbeziehen möchten, würde die Gleichung meiner Meinung nach werden$a = (1 - (2GM/rc^2))^{-1/2} GM/r^2$ ), können Sie dies verwenden, um nach der Masse aufzulösen$M$des Schwarzen Lochs.

Sobald Sie feste Positionskoordinaten und die Masse des Schwarzen Lochs ausgearbeitet haben, können Sie, um die Zeit in Schwarzschild-Koordinaten zu messen, Standarduhren an festen Positionen aufstellen und eine zweite "Schwarzschild-Zeitkoordinaten" -Anzeige getrennt von der Anzeige der Uhr (der Uhr) haben Die Anzeige zählt Intervalle der Eigenzeit , die sich von der Koordinatenzeit unterscheiden), wobei die beiden durch einen Computer verbunden sind, der so programmiert ist, dass er einfach die Schwarzschild-Zeitkoordinate vorwärts erhöht$1/\sqrt{1 - (r_0/r)}$Zeiteinheiten jedes Mal, wenn die Standarduhr um 1 Zeiteinheit vorwärts tickt; Hier$r$ist der Radius der Uhr und$r_0$ist der Schwarzschild-Radius $r_0 = 2GM/c^2$(Deshalb war es wichtig, die Masse zu bestimmen$M$des Schwarzen Lochs). Dadurch wird sichergestellt, dass ein Intervall der Koordinatenzeit$dt$bezieht sich auf ein Intervall der Eigenzeit$d\tau$durch die richtige Formel für die Gravitationszeitdilatation in Schwarzschild-Koordinaten,$d\tau = dt \sqrt{1 - (r_0/r)}$.

Der letzte Schritt bei einer physikalischen Konstruktion von Schwarzschild-Koordinaten wäre sicherzustellen, dass nicht nur die Schwarzschild-Zeitkoordinatenanzeigen an jedem Ort mit der richtigen Rate ticken, sondern alle Uhren auch richtig synchronisiert sind. Dies kann mit etwas Analogem zur Einstein-Uhrensynchronisationsmethode erfolgen , jedoch für Uhren an konstanter Position in Schwarzschild-Koordinaten und nicht für Trägheitsuhren; Die Idee ist, dass Uhr A ein Lichtsignal an Uhr B sendet, wenn A liest$t_0$, dann, wenn B das Signal um erhält$T$er sendet sofort ein Lichtsignal zurück zu A, und wenn A das Rücksignal an erhält$t_1$, werden die beiden Uhren als "synchronisiert" definiert, wenn$T$liegt genau in der Mitte$t_0$Und$t_1$. Dass dieses Verfahren in Schwarzschild-Koordinaten angewendet werden kann, wird auf S. 186 von Astrophysical Concepts von Martin Harwit, hier online einsehbar . Denken Sie daran, dass die oben genannten Zeiten die Zeiten auf den Schwarzschild-Zeitkoordinatenanzeigen sein sollen, nicht die richtige Zeit der Standarduhren.

Das ist also eine physikalische Methode zur Konstruktion des Schwarzschild-Koordinatensystems. Wie hier erwähnt , werden in Bezug auf Schwarzschild-Koordinaten "eingehende Eddington-Finkelstein-Koordinaten durch Ersetzen der Koordinate erhalten$t$mit der neuen Koordinate$v = t + r^*$ ", Wo$r^*$wurde früher als auf die Schwarzschild-Koordinate bezogen definiert$r$von$r^* = r + 2GM \ln | (r/2GM) - 1 |$. Anstatt also neben jeder physischen Uhr eine "Schwarzschild-Zeitkoordinate" anzuzeigen, können Sie eine "eingehende Eddington-Finkelstein-Zeitkoordinate" anzeigen, wobei der Computer zuerst die Schwarzschild-Zeitkoordinate berechnet$t$Verwenden Sie die zuvor beschriebene Methode und berechnen Sie sie dann$v = t + r + 2GM \ln | (r/2GM) - 1 |$und das anzeigen$v$. Das ist es! Koordinatensysteme sind in GR wirklich ziemlich willkürlich, jede glatte Transformation von einem physikalisch sinnvollen Koordinatensystem ist ein anderes physikalisch sinnvolles Koordinatensystem, und die Einstein-Feldgleichungen werden in allen gelten. Solange Sie also eine physikalische Methode zum Implementieren eines Koordinatensystemtyps haben, besteht eine physikalische Methode zum Konstruieren eines anderen Koordinatensystems, das durch eine bekannte Transformation mit dem ersten in Beziehung steht, darin, an jedem Punkt Computer zu haben, die das physikalisch Instanziierte als Eingabe verwenden Koordinaten im ersten System, berechnen die Transformation und zeigen als Ausgabe die entsprechenden Koordinaten im zweiten System an. Es ist möglich, dass es einen "direkteren" Weg gibt, das zweite Koordinatensystem zu konstruieren, aber es ist nicht wirklich notwendig.

Fragst du teilweise auch nach der körperlichen Motivationfür die Wahl dieser speziellen Transformation von Schwarzschild-Koordinaten und nicht nur dafür, wie die Koordinaten von Ereignissen mit physikalischen Messinstrumenten zugeordnet werden könnten? Wenn dem so ist, glaube ich, dass der Hauptvorteil der eingehenden Eddington-Finkelstein-Koordinaten darin besteht, dass sie sicherstellen, dass Lichtstrahlen, die auf rein radialen Wegen in das Schwarze Loch gelangen, während ihrer gesamten Reise die gleiche konstante Koordinatengeschwindigkeit haben, während bei Schwarzschild-Koordinaten die Koordinatengeschwindigkeit eines einfallenden Lichtstrahls verlangsamt sich kontinuierlich, wenn er sich dem Ereignishorizont nähert (und tatsächlich werden sie den Horizont zu keiner endlichen Koordinatenzeit in Schwarzschild-Koordinaten erreichen, während sie dies in eingehenden Eddington-Finkelstein-Koordinaten tun). Ausgehende Lichtstrahlen, die in radialer Richtung vom Schwarzen Loch weg emittiert werden, Sie haben keine konstante Koordinatengeschwindigkeit in eingehenden Eddington-Finkelstein-Koordinaten, obwohl es ein separates Koordinatensystem namens "ausgehende Eddington-Finkelstein-Koordinaten" gibt, in dem sie dies tun, eingehende Lichtstrahlen jedoch nicht. Wenn Sie ein Koordinatensystem wünschen, in dem sowohl einfallende als auch ausgehende Lichtstrahlen eine konstante Koordinatengeschwindigkeit haben, versuchen Sie esKruskal-Szekeres-Koordinaten .

Koordinaten sind nicht physikalisch. Sie sind ganz Ihnen überlassen. In den Eddington-Finkelstein-Koordinaten sind die Geraden konstant$u$ $\theta$Und$\phi$sind radiale Nulllinien, die ins Unendliche gehen, während$r$ist die Koordinate derart, dass die von der Kugelsymmetrie überstrichenen Flächen einen Flächeninhalt von haben$4 \pi r^2$. (dh, nehmen Sie einen Punkt der Raumzeit. Wenden Sie eine sphärische Symmetrie (Rotation) an. Tun Sie das mit allen möglichen Rotationen und Sie erhalten eine Kugel. Messen Sie ihre Fläche, ziehen Sie die Quadratwurzel dieser Fläche$4 \pi$, und nenne das die Koordinate$r$. Sie können also alle Punkte in der Raumzeit mit einem Wert für kennzeichnen$r$. Beschriften Sie die Punkte auf einer dieser Flächen mit$\theta$Und$\phi$unter Verwendung der Standardverbindung zwischen ihnen und den Rotationen dieser Kugel. Wählen Sie jetzt die Stange,$\theta=0$, und konstruiere die orthogonalen Vektoren zu dieser Oberfläche an diesem Pol.

Die Funktion$\textrm{grad } r$ein Vektor ist, der zu jeder dieser konstanten Flächen orthogonal ist$r$. Von jedem Punkt an dieser einen Sphäre, mit der du beschriftet hast$\theta$Und$\phi$, konstruieren Sie eine Geodäte mit$\textrm{grad } r$als Tangentenvektor. Wo diese Geodäten andere Kugeln mit Kugelsymmetrie schneiden, kennzeichnen Sie diese Punkte mit demselben Wert von$\theta$Und$\phi$wie auf jener ersten Sphäre. An jedem Punkt auf der Oberfläche jeder der Kugeln, mit denen Sie bereits beschriftet sind$\theta$Und$\phi$, konstruieren Sie den nach außen zeigenden Nullvektor orthogonal zur Kugel. (Es wird an jedem Punkt zwei Nullvektoren geben, die orthogonal zu jedem Tangentenvektor an die Kugel sind. Einer von ihnen wird so sein, dass entlang einer Linie mit diesem Vektor als Tangente,$r$wird zunehmen, wenn Sie in die Zukunft gehen). Konstruieren Sie die Null-Geodäte mit diesem Vektor als Tangente. Wo es alle Sphären schneidet, die Sie noch nicht beschriftet haben$\theta$Und$\phi$, verwenden Sie es, um eine Bezeichnung von zu geben$\theta$Und$\phi$zu den Punkten auf dieser Kugel. Die sphärische Symmetrie stellt sicher, dass diese Kennzeichnung konsistent ist – dh Sie werden dies nicht entdecken, wenn Sie auf eine Kugel stoßen, die bereits mit den Werten gekennzeichnet wurde$\theta$Und$\phi$die dem Schnittpunkt zugeordnet sind, bereits anders beschriftet sein. Das Etikett$u$wird so gewählt, dass die Oberfläche, die von allen Null-Geodäten gebildet wird, die von einer Kugel ausgehen, dieselbe Bezeichnung hat$u$. Bis jetzt$u$ist willkürlich. Wählen Sie die Koordinate$u$damit die Steigung der Funktion$u$in den Gradienten der Funktion gepunktet$r$ist Einheit. Dies konstruiert die ausgehenden Nullkoordinaten von Eddington Finkelstein. Um die eingehenden zu konstruieren, führen Sie das obige Verfahren aus, aber wählen Sie stattdessen an jedem Punkt den eingehenden Nullvektor ($r$nimmt ab, wenn Sie in die Zukunft gehen).

Das Obige definiert die Eddington-Finkelstein-Koordinaten durch einen "physikalischen" Prozess. Die Zeitübersetzungssymmetrie der Schwartzschild-Metrik stellt sicher, dass es keine Rolle spielt, welchen Punkt Sie ursprünglich gewählt haben, um den obigen Prozess zu starten. Sie erzeugen alle die gleichen Koordinaten mit Ausnahme einer Transformation zum Hinzufügen einer Konstanten zur Funktion$u$, und eine Drehung der$\theta$Und$\phi$Koordinaten.

Angenommen, wir beginnen mit Schwarzschild-Koordinaten$(t,r,\theta,\phi)$bereits gegeben (obwohl wir leicht mit weniger beginnen könnten). Um eine korrekte physikalische Konstruktion zu wählen, betrachten Sie zunächst die erforderliche theoretische Koordinatentransformation. Für die eingehende Nullvariante der Eddington-Finkelstein-Koordinaten transformiert sich die neue Koordinate aus den Schwarzschild-Koordinaten als$v=t+r^*$Wo

$$r^*\equiv r+2M\ln\Big\lvert\frac{r}{2M}-1\Big\rvert$$ Seit $v=\textrm{const}$für radial einfallende Photonen stützen wir unsere Konstruktion darauf. Wählen Sie eine feste Sphäre aus $r=r_0$und platzieren Sie Laser rundherum, die gerade nach unten / innen gerichtet sind. Senden Sie dann Photonenpulse aus, die den Wert von numerisch codieren $t+r^*$zum Zeitpunkt der Emission. Dann auf jeden Fall mit $r<r_0$, fangen Sie den nächsten Lichtimpuls ab und nehmen Sie ihn $v$-Wert für Ihre Koordinate.

Nicht essen$r=r_0$, wird die Transformation einfach$v=t+\textrm{const}$. Man könnte also die Konstante ignorieren und einfach nehmen$v':=t$als Startwert. Wenn$r_0\gg 2M$, nehmen Sie einfach die richtige Zeit des Lasers, vorausgesetzt, sie sind alle auf der Kugel synchronisiert! Sie können ausgehende Nullkoordinaten auf ähnliche Weise konstruieren.