Killing Field in der Minkowski-Raumzeit

Hier ist eine Methode:

1. Die Killing-Gleichung

   $$({\cal L}_X\eta)_{\mu\nu}~=~0\tag{1}$$ für eine konstante Metrik $$\eta_{\mu\nu}={\rm const}\tag{2}$$
   liest $$X_{\mu,\nu}+X_{\nu,\mu}~=~0,\tag{3}$$ wie OP richtig erwähnt.

2. Betrachten Sie andererseits eine Koordinatentransformation

   $$x^{\mu}~~\longrightarrow~~ x^{\prime \nu}~=~f^{\nu}(x), \tag{4}$$ das bewahrt die Metrik (2), dh $$\eta_{\mu\nu}~=~\frac{\partial x^{\prime\kappa}}{\partial x^{\mu}}\eta_{\kappa\lambda}\frac{\partial x^{\prime\lambda}}{\partial x^{\nu}}. \tag{5}$$ Beachten Sie dies für eine infinitesimale Koordinatentransformation der Form $$\delta x^{\mu}~=~x^{\mu \prime}-x^{\mu}~=~ \varepsilon X^{\mu}, \tag{6}$$ Gl. (5) wird genau dieselbe Gl. (3)!

3. Die Lösungen (4) zu Gl. (5) wird in zB diesem Phys.SE-Beitrag mit verschiedenen Methoden als affine Transformationen nachgewiesen .

Dies ist im Wesentlichen eine Folge der Verbindung weiter$\mathbb{R}^n$flach sein.

Die kann man geben$\omega$In$X = c + \omega x$ausdrücklich als$\omega_{\mu\nu} = \partial_\mu X_\nu$, und das$c$als$c = X - \omega x$.

Für ein Killingfield$X$, das hat man$\nabla_\mu\nabla_\nu X_\rho = {R^\sigma}_{\mu\nu\rho}X_\sigma$, Wo$R$ist der Riemann-Tensor, aber$R=0$für Flachanschlüsse, so$\partial_\mu\omega_{\nu\sigma} = \partial_\mu\partial_\nu X_\sigma = 0$, dh$\omega$ist konstant.

Auswerten$\partial_\mu c_\nu$, das findet man auch$c$ist konstant, wenn$\omega$ist antisymmetrisch, und$\partial_\mu X_\nu$aufgrund der Killing-Gleichung antisymmetrisch ist.

Insgesamt gibt dies$X= c+\omega x$für$c,\omega$konstant und$\omega$antisymmetrisch.