Ein typischer Lorentz-Kontraktions-Beweis beruht auf dem Axiom, dass "die Lichtgeschwindigkeit konstant ist" und lautet wie folgt. Gegeben:

• Rahmen$F_1$bewegt sich mit Geschwindigkeit$v$relativ zum Rahmen$F_0$. Im Rahmen$F_1$sitzen 2 parallele Spiegel.
• Der Abstand zwischen den Spiegeln wird gemessen als$l_0$In$F_1$(in Ruhe relativ zu Spiegeln).
• Der Abstand zwischen den Spiegeln wird gemessen als$l$In$F_0$(während Spiegel vorbeifahren$F_1$Bei Geschwindigkeit$v$).
• Zeit für Licht, um zwischen Spiegeln "hin und zurück" zu gehen, gemessen als$t_0$In$F_1$(in Ruhe relativ zu Spiegeln).
• Zeit für Licht, um zwischen Spiegeln "hin und zurück" zu gehen, gemessen als$t$In$F_0$(während Spiegel vorbeifahren$F_1$Bei Geschwindigkeit$v$).
• Schon bewiesen$t = \frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\gamma t_0$(Zeitdilatation).

Ein "Rundweg" von Licht, das zwischen Spiegeln hindurchgeht, dauert zwei Reisen; gemessen von$F_0$, diese Reisen brauchen Zeit$t_1$Und$t_2$. Während dieser Fahrten fährt das Schiff$vt_1$Und$vt_2$, was Lichtreisen bedeutet$l+vt_1$Und$l-vt_2$wenn sich Licht in die gleiche und entgegengesetzte Richtung bewegt wie$F_1$, jeweils gemessen in$F_0$. Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ergibt:

• Trip 1 (Licht bewegt sich in die gleiche Richtung wie$F_1$relativ zu$F_0$):$c = \frac{l + vt_1}{t_1}$ $\Rightarrow$ $t_1 = \frac{l}{c-v}$
• Trip 2 (Licht bewegt sich in die entgegengesetzte Richtung wie$F_1$relativ zu$F_0$):$c = \frac{l - vt_2}{t_2}$ $\Rightarrow$ $t_2 = \frac{l}{c+v}$
• So,$\color{red}{t = t_1 + t_2 = \frac{l}{c-v} + \frac{l}{c+v} =\frac{2lc}{c^2-v^2}= \frac{2l/c}{1-\frac{v^2}{c^2}} = \frac{2\gamma^2}{c} l}$.

Gemessen in$F_1$, die „Hin- und Rückfahrt“-Distanz ist einfach$2l_0$, und so$c=\frac{2l_0}{t_0} \Rightarrow t_0 = \frac{2l_0}{c}$.

Kombiniert man dies mit Zeitdilatationserträgen$t=\gamma t_0 = \gamma\frac{2l_0}{c} = \frac{2\gamma}{c}l_0$.

Alles zusammen ergibt Ergebnisse

Frage:

Kann ich diesen Beweis verkürzen, um nur "eine Fahrt" zwischen den Spiegeln anstelle einer "Hin- und Rückfahrt" zu verwenden? Ich habe es versucht und kann es nicht! ICH$\color{red}{\text{have highlighted in red}}$der Teil des Beweises, wo die Hin- und Rückfahrt eine schöne Entwertung ergibt.

Was vermisse ich?

• Es gibt Beweise, die sich auf andere Axiome als "die Lichtgeschwindigkeit ist konstant" stützen, aber ich suche nach einem Beweis, der sich nur darauf stützt.

• Der typische Beweis für die Zeitdilatation$t=\frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$beinhaltet das Aufprallen von Licht zwischen zwei Spiegeln, die senkrecht zur Bewegung der Referenzrahmen sind. Ich bin diesen Beweis durchgegangen, und er bricht absolut NICHT zusammen, wenn nur eine Fahrt zwischen den Spiegeln betrachtet wird. Der Beweis in dieser Frage beinhaltet Spiegel, die durch einen Abstand PARALLEL zur Bewegung der Referenzrahmen getrennt sind.

• Wenn "Roundtrip" unklar ist, hier zwei Animationen, die jeweils zwei "Roundtrips" darstellen:

Erstes Bild von mir gemacht. Zweites Bild von Help Me Gain an Intuitive Understanding of Lorentz Contraction , das denselben Beweis auf der Grundlage der konstanten Lichtgeschwindigkeit durchläuft.

Ein Beweis, den ich für die Zeitdilatation gesehen habe, lautet wie folgt und scheint nur eine einzige Fahrt eines Lichtstrahls zu erfordern:

Stellen Sie sich ein Paar Spiegel vor, die durch Entfernung voneinander getrennt sind$L$fährt mit hoher Geschwindigkeit vorbei$v$, so dass die Verschiebung zwischen den Spiegeln senkrecht zur Bewegung der Spiegel ist. Im Bezugssystem der Spiegel legt Licht, das zwischen den Spiegeln reflektiert wird, eine Strecke zurück$L$In$t_0$Sekunden im Tempo$c=\frac{L}{t_0}$. In dem Bezugsrahmen, relativ zu dem sich die Spiegel mit Geschwindigkeit bewegen$v$, jedoch braucht Licht, das zwischen den Spiegeln reflektiert wird, Zeit$t$dazu und reist$\sqrt{(vt)^2 + L^2}$. So,$c = \frac{\sqrt{(vt)^2 + L^2}}{t}$auch weil die Lichtgeschwindigkeit für alle Beobachter konstant ist. Auflösen für$t$und Substituieren$t_0=\frac{L}{c}$Erträge$t=\frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$.

Das verwendete Bild stammt von dem, was der Laserstrahl in einem sich bewegenden Bezugsrahmen, aber mit einer Kugel macht