Abstand zwischen Ereignissen bei relativistischen Geschwindigkeiten

Schauen wir uns die Situation im Ruhesystem der Berge an,$S$:

In diesem Rahmen geschehen die beiden Eruptionen gleichzeitig. Wir nehmen an, dass dies die Zeit Null ist, also sind die Ereignisse für die beiden Eruptionen$(0,0)$Und$(0,300000)$wo ich das Ereignis als schreibe$(t,x)$.

Die Rakete passiert die erste Eruption zum Zeitpunkt Null, also die Ursprünge der beiden Frames$S$Und$S'$zusammenfallen und die Position der Eruption$A$Ist$(0,0)$in beiden Rahmen. Um die Position des Ausbruchs im zweiten Frame zu finden, verwenden wir die Lorentz-Transformationen:

$$\begin{align} t' &= \gamma \left( t - \frac{xv}{c^2} \right ) \\ x' &= \gamma \left( x - vt \right) \end{align}$$

Und Putten$t=0$Und$x=300000$darin gibt uns die Position des Berges$B$Eruption:

$$\begin{align} t' &= -0.00133 ~ \mathrm{seconds}\\ x' &= 500000 ~ \mathrm{m} \end{align}$$

Wie Sie sagen, die Zeit kommt als heraus$-1.33$ms, also lasst uns die Situation im Rahmen zeichnen$S'$bei$t = -0.00133$:

Wir wissen, dass die Rakete am Berg war$A$bei$t=0$, also wenn wir zurückgehen$1.33$ms muss die Rakete links vom Berg gewesen sein$A$um einen Abstand seiner Geschwindigkeit,$0.8c$, mal$1.33$ms, und dies kommt zu$320$km.

Was wir also finden, ist das bei$t=-1.33$ms, wenn der Berg$B$bricht die Entfernung von der Rakete zum Berg, gemessen im Ruhesystem der Rakete, aus$500$km. Das ist, wo Ihre Figur von$500$km kommt. In diesem Fall die Entfernung von der Rakete zum Berg$A$Ist$320$km und die Entfernung vom Berg$A$zum Berg$B$Ist$180$km.

Und der Vollständigkeit halber zeichnen wir die Situation ein$S'$zum Zeitpunkt Null:

Zum Zeitpunkt Null passiert die Rakete den Berg$A$wie es ausbricht. Die Entfernung zum Berg$B$(der ausbrach$1.33$vor ms) ist jetzt$180$km.

Dies ist der sogenannte "Rear Clock Ahead"-Effekt, besser bekannt als Gleichzeitigkeitsverlust. Wenn zwei Ereignisse eine angemessene Länge haben$L$auseinander, und ein Beobachter bewegt sich mit einer Geschwindigkeit$v$parallel zur gleichen Linie wird das "hintere" Ereignis dem "vorderen" Ereignis um eine Zeit voraus sein

$$\frac{Lv}{c^2}$$ Also in Ihrem Fall, wenn Ihr Schiff abreist$A$Zu$B$, Beobachter auf dem Schiff wird es sehen$B$als "hinteres" Ereignis und damit$B$tritt zuerst auf.

Längen werden gemessen, indem zwei Ablesungen gleichzeitig vorgenommen werden . Wie Sie herausgefunden haben,$A$Und$B$treten nicht gleichzeitig auf$S'$und daher müssen wir diese "zusätzliche" Zeit korrigieren, die zu einer "zusätzlichen" gemessenen Entfernung führt. Durch diese Korrektur wird dann die gewünschte Länge erzeugt, die der gemessenen Länge entspricht$\mathbf A$Und$\mathbf B$geschah gleichzeitig in$\mathbf{S'}$. Also die tatsächliche Länge zwischen den beiden Bergen, wie aus gesehen$S'$, ist dann

$$L' = \gamma (L-v \Delta t) - v\frac{Lv}{c^2} = \gamma(L -0) - \frac{Lv^2}{c^2} = \gamma L(1-\frac{v^2}{c^2}) = \frac{L}{\gamma}$$ was das Standardergebnis der Längenkontraktion ist.