Beweis der Lorentz-Invarianz des Lorentz-invarianten Phasenraumelements

Ich habe mich nach einer zufriedenstellenden Antwort umgesehen, um das zu beweisen

$$\frac{d^3\vec{p}}{2E_{\vec{p}}}$$

Wo$E_{\vec{p}}=+\sqrt{(|\vec{p}|c)^2+(mc^2)^2}$, ist Lorentz-invariant. Die Standardantwort scheint zu sein, dass das obige Maß gleich ist

$$d^4p \, \delta (p^2-m^2)\theta(p_0)$$

Wo$p^2=p_0^2-|\vec{p}|^2$, Und$\theta(x)$ist die Stufenfunktion. Ich verstehe, dass diese beiden äquivalent sind, aber ich verstehe nicht, warum das zweite Lorentz-invariant sein muss, insbesondere warum das Dirac-Delta Lorentz-invariant sein muss. Ich habe ein Dokument gefunden (Abschnitt 2.1), das das beweist$\delta^{(4)}(p-p')$ist Lorentz-invariant, aber ich kann hier keine Möglichkeit finden, ihre Methode erfolgreich zu erweitern. Tatsächlich sagt mir alles, was ich zu bekommen scheine, dass das Obige nicht Lorentz-invariant ist und dass es sich tatsächlich umwandeln sollte

$$\frac{d^3\vec{p}'}{2\gamma E_{\vec{p}'}}$$

was Sinn macht aus$d^4p$als Lorentz invaraint und$dp_0$Transformation proportional zu$\gamma$, aber es ist nicht das, was alle anderen sagen. Was ist hier das Problem?

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Ein alternativer Weg, um den Faktor von zu "ableiten".$1/\gamma$:

$$\delta (p^2-m^2)\theta(p_0)=\frac{1}{E_{\vec p}}\delta(p_0-E_{\vec{p}})$$

Nun, als$dp_0$verwandelt sich in$\gamma dp_0$, Die$\delta(p_0-E_{\vec{p}})$umwandeln soll$\gamma^{-1}\delta(p_0-E_{\vec{p}})$, wie mit einem analogen Argument zu dem im Dokument gezeigten gezeigt werden kann . Der$E_{\vec{p}}$verwandelt sich auch in$\gamma(E_{\vec{p}}-v p_x)$für ein$x$-Boost, aber das scheint es nicht zu lösen.