Konservierte Strömung eines Klein-Gordon-Feldes

Dieses Problem ist eng verwandt mit Problem 7 in diesem Problemsatz aus dem QFT-Kurs von David Tong: http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/oh1.pdf

Also studiere ich ein Klein-Gordon-Feld$\phi$mit Lagrange$\mathcal{L}=\frac{1}{2} ( \partial_{\mu} \phi )(\partial^{\nu} \phi) - \frac{1}{2} m \phi^{2}$.

Ich beschäftige mich mit den Konsequenzen des Satzes von Noether als Ergebnis der Symmetrie$x^{\mu} \to x^{\mu} + \omega^{\mu}_{\ \nu} x^{\nu}$, Wo$\omega^{\mu}_{\ \nu}$ist ein infinitesimaler antisymmetrischer Tensor (insgesamt ist dies im Wesentlichen eine infinitesimale Lorentz-Transformation). Dies gibt mir eine Feldvariation$\delta \phi = - \omega^{\mu}_{\ \nu} x^{\nu} (\partial_{\mu} \phi)$.

Das konnte ich zeigen$\delta \mathcal{L} = \partial_{\mu}( - \omega^{\mu}_{\ \nu} x^{\nu} \mathcal{L} ) := \partial_{\mu} F^{\mu}$. Mit dem Beweis aus Neothers Theorem weiß ich also, dass ich den folgenden konservierten Strom konstruieren kann:

$$\begin{align}j^{\lambda} &= \frac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial( \partial_{\lambda} \phi ) } \delta \phi - F^{\lambda} \\ &= - \omega^{\mu}_{\ \nu} x^{\nu} \frac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial( \partial_{\lambda} \phi ) } ( \partial_{\mu} \phi ) + \omega^{\lambda}_{\ \nu} x^{\nu} \mathcal{L} \\ &= - \omega^{\mu}_{\ \nu} x^{\nu} \left( \frac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial( \partial_{\lambda} \phi ) } ( \partial_{\mu} \phi ) - \delta^{\lambda}_{\ \nu} \mathcal{L} \right) \\ &= - \omega^{\mu}_{\ \nu} x^{\nu} T_{\ \nu}^{\lambda}\end{align}$$

Wo$T$ist der Energie-Impuls-Tensor.

Dies ist die Antwort für den erhaltenen Strom im obigen Link. Ich bin bisher mit allem einverstanden.

$\ $

Meine Frage:

Ich soll irgendwie das Obige nehmen und den konservierten Strom finden:

$$(j^{\lambda})^{\nu \mu} = x^{\nu} T^{\mu \lambda} - x^{\mu} T^{\nu \lambda}$$

Wie mache ich das? Wie kommt es, dass ich plötzlich die beiden extra habe ''$\mu\nu$'' Komponenten? Meine Vermutung ist, dass ich das irgendwie "abziehen" muss$\omega_{\mu\nu}$von Oben$j^{\lambda}$, und verwenden Sie die Antisymmetrie von$\omega$, aber ich weiß nicht wie das geht.

Außerdem: Angeblich gibt es sechs der oben genannten Strömungen$(j^{\lambda})^{\nu\mu}$... Woher kommt diese Zahl? Wie ist das der Fall?