Wigner-Rotation

Nun, Sie sollen die beiden Exponentiale der nicht kommutierenden Boost-Generatoren zusammensetzen, möglicherweise durch die CBH-Erweiterungsidentität , oder indem Sie einfach jedes Exponential auf einige niedrige Ordnungen in den ξ- Schnelligkeitsparametern erweitern, wie der WP-Artikel vorschlägt , und verwenden Kommutatoren. In Ihrem Fall benötigen Sie$[K_y,K_x]=S_z$,$[K_y,S_z]=-K_x$, Und$[K_x,S_z]=K_y$, die zufällig nahe an einer SU(2) liegen!

Das heißt,

$$e^{-\xi_yK_y}e^{-\xi_xK_x}\\ = \Large e^{-\xi_yK_y-\xi_xK_x +\frac{\xi_y\xi_x}{2} [K_y,K_x]- \frac{\xi_y\xi_x}{12}(\xi_y [K_y,[K_y,K_x]] + \xi_x [K_x,[K_x,K_y]] )+... }\\= \Large e^{-\xi_yK_y-\xi_xK_x +\frac{\xi_y\xi_x}{2} S_z+ \frac{\xi_y\xi_x}{12}(\xi_y K_x + \xi_x K_y )+... } ~~.$$ In der Tat, die $O(\xi^4)$Term im Exponenten verschwindet in diesem speziellen Fall, und der führende nicht verschwindende Term ist $O(\xi^5)$, die Sie leicht berechnen könnten.

Für einen solchen SU(2)-Ausdruck gibt es eine geschlossene Form (oder besser die Gibbs-Kompositionsformel ), also eine Linearkombination der drei Generatoren mit Koeffizienten aller Ordnungen in ξ . Der vollständige Ausdruck ist ein Produkt aus einem Boost und einer Wigner-Rotation,$\exp(\theta S_z)\exp(a K_y +b K_x)$, mit$\tan \theta= (\sinh \xi_x \sinh \xi_y )/(\cosh \xi_x +\cosh \xi_y)$, Und$a(\xi_y, \xi_x)$Und$b(\xi_x, \xi_y)$chaotische Gibbs-Parameter und läuft auf eine SU(2)-Gruppenidentität hinaus. (Beachten Sie, dass diese Ordnungselemente, wenn sie wie oben kombiniert werden, das oben gefundene zusammengesetzte Einzelelement in dieser Reihenfolge in den ξ s ergeben,$\exp(\xi_x\xi_y S_Z/2+...) =\exp (\xi_y K_y/3 -\xi_x K_x/3+...)$, wobei der nacheilende neue zusammengesetzte Boost in x und y asymmetrisch ist , wie es sein sollte!)

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Kombination von zwei Boosts entlang verschiedener Achsen x und y eine Lorentz-Transformation erzeugt, die nicht nur ein reiner Boost ist, der$O(\xi)$Summe von Boosts, sondern auch eine$O(\xi^2)$Rotation, die Wigner-Rotation, die der Thomas-Präzession zugrunde liegt.

Sie können auch beobachten, dass Sie, wenn Sie diese beiden Boosts in derselben Reihenfolge rückgängig machen, eine doppelte Wigner-Rotation als Führender erhalten würden.$O(\xi^2)$, Rest,

$$e^{-\xi_yK_y}e^{-\xi_xK_x} e^{\xi_yK_y}e^{\xi_xK_x} \\ = e^{ \xi_y\xi_x [K_y,K_x] + O(\xi^3) +... }= e^{ \xi_y\xi_x S_z + O(\xi^3) +... } ~~.$$ Dies wird als Gruppenkommutator bezeichnet, dessen Logarithmus der korrigierte Kommutator der Lie-Algebra ist, eine doppelte Wigner-Rotation.