Unterschied zwischen "Lorentz-Transformation" und "eigentlich orthochron"

Ihre Definitionen sind tatsächlich die für die richtige, orthochrone Lorentz-Transformation, nicht für allgemeine Lorentz-Transformationen, deshalb haben Sie Probleme, den Unterschied zu erkennen! (Wenn Sie sich dadurch besser fühlen, gestern versuchten ein Kollege und ich, seinen Testaufbau zu debuggen, und es vergingen zwei Stunden komplexer Tests, bevor wir zwei Genies feststellten, dass wir die Stromversorgung eines wichtigen Teils des Kits nicht eingeschaltet hatten!)

Eine allgemeine Lorentz-Transformation ist allein durch Kriterium 1) definiert – es ist einfach jede lineare Transformation, die die quadratische Form bewahrt$t^2 - x^2 - y^2 - z^2$.

Die eigentlichen, orthochronen Transformationen sind diejenigen, die zu der mit der Identität verbundenen Komponente gehören $SO^+(1,\,3)$der gesamten Lorentz-Gruppe$O(1,\,3)$. Das heißt, die richtigen, orthochronen Transformationen sind diejenigen, die von erreicht werden können$4\times4$Identitätsmatrix, indem sie einem kontinuierlichen Pfad durch die Lorentz-Gruppe folgt. Entsprechend sind sie die Matrizen, die sich auf Pfaden durch die durch die Differentialgleichung definierte Lorentz-Gruppe befinden:

$$\begin{array}{lcl}\mathrm{d}_s L &=& (a_x(s)\, J_x + a_2(s)\, J_y+a_z(s)\, J_z + b_x(s)\, K_x + b_y(s)\, K_y+b_z(s)\, K_z)\,L\\L(0) &=& \mathrm{id}\end{array}\tag{1}$$

Wo$\mathrm{id}$ist der$4\times 4$Identität,$a_j(s),\,b(s)$stetige Funktionen des Parameters sind$s$und das$J_j,\,K_J$sind sechs Matrizen$4\times 4$die die Lie-Algebra der Lorentzgruppe aufspannt, also den reellen Vektorraum aller möglichen „Tangenten an die Identität“, also aller möglichen Werte , aufspannt$\mathrm{d}_s L|_{s=0}$. Ein möglicher Satz ist:

$$\begin{array}{lcllcllcl}J_x&=&\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{array}\right)&J_y&=&\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{array}\right)&J_z&=&\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)\\K_x&=&\left(\begin{array}{cccc}0&10&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)&K_y&=&\left(\begin{array}{cccc}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)&K_z&=&\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{array}\right)\end{array}\tag{2}$$

(Sehen Sie, wie die$J_j$sind schief-hermitesch, haben also rein imaginäre Eigenwerte, so dass$\exp(a_j\, J_j)$hat Sachen wie$\sin,\,\cos$eines Winkels und ist eine Rotationsmatrix, während die$K_j$sind hermitesch, also mit rein reellen Eigenwerten$\exp(b_j\, K_j)$hat Sachen wie$\sinh,\,\cosh$einer Schnelligkeit und ist eine reine Boost-Matrix).

Eine intuitive Beschreibung: Stellen Sie sich vor, Sie sitzen an der Konsole des „Hyperantriebs“ Ihres Raumschiffs: Er hat zwei Trackballs mit jeweils eigenen Hebeln, die mit „Spin“ und „Boost“ gekennzeichnet sind, und eine Reihe von Beschleunigungsmessern – linear und rotierend. Ihr Raumschiff bewegt sich zunächst träge. Sie rollen die Trackballs herum, um die Rotationsachse bzw. die Schubrichtung einzustellen. Beim Ziehen an den Hebeln beschleunigt der Spin-Hebel die Winkelgeschwindigkeit um die Rotationsachse, der Boost-Hebel beschleunigt die Lineargeschwindigkeit in Boost-Richtung. Anders ausgedrückt, der "rotate" Trackball und sein Hebel stellen die Überlagerungsgewichte ein$a_j(s)$des$J_j$in (1), wenn wir die Definitionen in (2) verwenden und der "Boost"-Trackball und sein Hebel die Gewichte einstellen$b_j$des$K_k$. Du durchläufst eine Kontrollsequenz, die damit endet, dass deine Beschleunigungsmesser Null anzeigen, also jetzt eine Reihe von$x,\,y,\,z$Achsen, die an Ihrem Raumschiff befestigt sind, bewegt sich trägheitsmäßig relativ zum Anfangsrahmen. Die eigentlichen, orthochronen Transformationen sind genau jede Transformation zwischen dem Anfangsframe und einem Trägheitsframe, das Sie mit Ihren Steuerungen erreichen können .

Es sind jedoch andere Transformationen möglich, die die quadratische Form beibehalten$t^2 - x^2 - y^2 - z^2$die Ihre Kriterien 2. und 3. nicht erfüllen, aber nur einem "einfachen" Muster folgen, das sie "nicht viel anders" von der identitätsverbundenen Komponente macht. Eine diskrete Untergruppe der vollständigen Lorentz-Gruppe ist$\{\mathrm{id},\,P,\,T,\,P\,T\}$mit

$$P=\text{"parity flipper"} = \mathrm{diag}[1,\,-1,\,-1,\,-1];\\T=\text{''time flipper''} = \mathrm{diag}[-1,\,1,\,1,\,1]$$

Mit Ausnahme von$\mathrm{id}$, kann keiner von diesen von der Identität aus über Pfade erreicht werden, die (1) erfüllen. Sie gehören zu verschiedenen verbundenen Komponenten aus der Identitätskomponente$SO^+(1,\,3)$. Tatsächlich ist die identitätsverbundene Komponente eine normale Untergruppe der vollständigen Lorentz-Gruppe$SO(1,\,3)$und der Quotient$O(1,\,3) / SO^+(1,\,3)$ist die kleine Gruppe$\{\mathrm{id},\,P,\,T,\,P\,T\}$. Somit kann jede vollständige Lorentz-Transformation als eine echte orthochrone Transformation dargestellt werden, gefolgt von einer von$P,\,T$oder$P\,T$. Es gibt vier separate verbundene Komponenten zur vollständigen Lorentz-Gruppe. (nebenbei:$\{\mathrm{id},\,P,\,T,\,P\,T\}$ist die Klein "Viergruppe": die einzig mögliche Gruppe von vier Elementen abgesehen von$\mathbb{Z}_4$).

Um eine nicht-richtige oder nicht-orthochrone Transformation aufzuspüren, tun Sie eines von zwei Dingen:

1. Berechnen Sie die Determinante der Matrix. Wenn es -1 ist, dann wissen Sie, dass es eines von enthalten muss$P$oder$T$, also ist es nicht richtig oder nicht orthochron. Sie können die weiter differenzieren$P$Und$T$cosets durch einen Blick auf die$L_0^0$Bestandteil der Transformation: die$T$coset hat$L_0^0<0$, da eine solche Transformation die Rollen von "Zukunft" und "Vergangenheit" vertauscht (spiegelt eigentlich den Minkowsky-Vektorraum im$t=0$Ebene).

2. Wenn die Determinante ist$+1$, dann kann es zu den gehören$P\,T$Nebenmenge von$O(1,\,3)$. Wie in Punkt 1, die$T$coset und die$P\,T$Nebenklassen können als Transformationen mit erkannt werden$L_0^0<0$

Das ist wahr.

Allerdings müssen nicht alle Lorentz-Transformationen echt sein ($det(L) = 1$) oder orthochron$L_0^0 \geq 1$Zum Beispiel,

• Paritätstransformation$diag(1,-1,-1,-1)$ist falsch (seit$det(L) = -1$), sondern orthochron (seit$L_0^0 = 1)$

• wohingegen Zeitumkehr$diag(-1,1,1,1)$ist eine nicht orthochrone Transformation (seit$L_0^0 = -1)$