Infinitesimaler Generatorfluss von Lorentz-Transformationen in der Raumzeit

Ich bin etwas misstrauisch gegenüber dem 22. Eintrag der Matrix, die Sie aufschreiben.

$$M=\begin{pmatrix} \frac{4- \cos(\rho)}{3} & \frac{2- 2\cos(\rho)}{3} & 0 & -\frac{\sin(\rho)}{\sqrt{3}} \\ \frac{2\cos(\rho) - 2}{3} & \frac{4- \cos(\rho)}{3} & 0 & \frac{2\sin(\rho)}{\sqrt{3}}\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\frac{\sin(\rho)}{\sqrt{3}} & -\frac{2\sin(\rho)}{\sqrt{3}} & 0 & \cos(\rho) \\ \end{pmatrix}$$ zu deren Logarithmus Sie eingeladen sind. Ich vermute, dieser Eintrag ist so etwas wie $(4\cos \rho -1)/3$stattdessen --- siehe unten. Ihre Zeit scheint in der 4. Komponente zu sein, im Gegensatz zur ersten in der herkömmlichen Notation .

Auf jeden Fall beobachten$M=\mathbb{1}$als$\rho\to 0$, um also seinen Logarithmus zu finden, expandieren wir in die ersten beiden Potenzen von ρ ,

$$M=\mathbb{1} -\frac{\rho}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2& 0 & 0 \\ \end{pmatrix}+ \frac{\rho^2}{6} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ - 2 & 1& 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &0 & 0 & -3 \\ \end{pmatrix} +Ο(\rho^3).$$

Nennen wir die erste große Matrix A und die zweite B . Notiz

$$A^2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ - 2 & -4& 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &0 & 0 & -3 \\ \end{pmatrix} .$$

Wenn nun der 22-Eintrag von B -4 statt 1 wäre, hätten wir$A^2=B$, und somit$A^3=-3A$,$A^4=-3A^2$, etc... so (Ruhm!) können Sie bestätigen

$$M=\mathbb{1} -\frac{\rho}{\sqrt{3}}A+ \frac{1}{2} \left(-\frac{\rho A}{\sqrt{3}}\right)^2 +...=e^{-\frac{\rho }{\sqrt{3}}A},$$ da sich die Expansion des Exponentials auf reduziert $$=\mathbb{1} -\sin\rho ~ \frac{A}{\sqrt{3}} +\frac{1-\cos\rho}{3} A^2 ,$$ durch die obigen rekursiven Regeln.

Sie würden diesen dann tatsächlich Logarithmus nennen$A/\sqrt{3}$des Exponentials bis zum Parameter - ρ , dem Generator des Gruppenelements M . In Ihrem speziellen Fall sehen Sie, dass es sich um eine lineare Kombination aus einer Raumzeitrotation (antisymmetrische Elemente) und einer schubartigen Dehnung (symmetrische Elemente) handelt.

So wie es aussieht, ist Ihr B jedoch problematisch, weshalb ich davon überzeugt bin, dass es falsch ist und stattdessen mein vorgeschlagener Ausdruck sein sollte.