Die unendlich kleine Lorentz-Transformation ist antisymmetrisch

Question

Die unendlich kleine Lorentz-Transformation ist antisymmetrisch

Benutzer82235

Die Minkowski-Metrik transformiert sich unter Lorentz-Transformationen als

\begin{aligned} η_{ρ σ} = η_{μ v} Λ_{ρ}^{μ} Λ_{σ}^{v} \end{aligned}

$\begin{align*}\eta_{\rho\sigma} = \eta_{\mu\nu}\Lambda^\mu_{\ \ \ \rho} \Lambda^\nu_{\ \ \ \sigma} \end{align*}$

Ich will das unter einer infinitesimalen Transformation zeigen $\Lambda^\mu_{\ \ \ \nu}=\delta^\mu_{\ \ \ \nu} + \omega^\mu_{{\ \ \ \nu}}$ , Das $\omega_{\mu\nu} = -\omega_{\nu\mu}$ .

Ich habe versucht, mich zu erweitern:

\begin{aligned} η_{ρ σ} & = η_{μ v} (δ_{ρ}^{μ} + ω_{ρ}^{μ}) (δ_{σ}^{v} + ω_{σ}^{v}) \\ = (δ_{v ρ} + ω_{v ρ}) (δ_{σ}^{v} + ω_{σ}^{v}) \\ = δ_{ρ σ} + ω_{σ}^{ρ} + ω_{σ ρ} + ω_{v ρ} ω_{σ}^{v} \end{aligned}

$\begin{align*} \eta_{\rho\sigma} &= \eta_{\mu\nu}\left(\delta^\mu_{\ \ \ \rho} + \omega^\mu_{{\ \ \ \rho}}\right)\left(\delta^\nu_{\ \ \ \sigma} + \omega^\nu_{{\ \ \ \sigma}}\right) \\ &= (\delta_{\nu\rho}+\omega_{\nu\rho})\left(\delta^\nu_{\ \ \ \sigma} + \omega^\nu_{{\ \ \ \sigma}}\right) \\ &= \delta_{\rho\sigma}+\omega^\rho_{\ \ \ \sigma}+\omega_{\sigma\rho}+\omega_{\nu\rho} \omega^\nu_{{\ \ \ \sigma}} \end{align*}$

Es ist lange her, dass ich mich mit Tensoren beschäftigt habe, daher weiß ich nicht, wie ich vorgehen soll.

jdm

@Qmechanic: Warum das Hausaufgaben- Tag? "[...] jede Frage, bei der es vorzuziehen ist, den Fragesteller zur Antwort zu führen, anstatt sie direkt zu verraten." - Wenn es keine eigentlichen Hausaufgaben sind, sollte der OP nicht entscheiden, welche Art von Antwort er bevorzugen würde? Wenn ich die Frage stellen würde und die Antwort für die eigentliche Arbeit bräuchte , wäre ich sehr unglücklich, wenn ich eine pädagogische Antwort erhalten würde.

QMechaniker

@jdm: Das Hausaufgaben-Tag bezieht sich nicht darauf, ob es sich tatsächlich um Hausaufgaben handelt oder nicht; es bezieht sich auf den Inhalt der Frage. Siehe Phys.SE-Hausaufgabenrichtlinie für Details.

Benutzer82235

Tut mir leid, ich muss daran denken, Hausaufgaben-Tags hinzuzufügen >_<

QMechaniker

Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/28535/2451

Antworten (2)

Die unendlich kleine Lorentz-Transformation ist antisymmetrisch

@Qmechanic: Warum das Hausaufgaben- Tag? "[...] jede Frage, bei der es vorzuziehen ist, den Fragesteller zur Antwort zu führen, anstatt sie direkt zu verraten." - Wenn es keine eigentlichen Hausaufgaben sind, sollte der OP nicht entscheiden, welche Art von Antwort er bevorzugen würde? Wenn ich die Frage stellen würde und die Antwort für die eigentliche Arbeit bräuchte , wäre ich sehr unglücklich, wenn ich eine pädagogische Antwort erhalten würde.
@jdm: Das Hausaufgaben-Tag bezieht sich nicht darauf, ob es sich tatsächlich um Hausaufgaben handelt oder nicht; es bezieht sich auf den Inhalt der Frage. Siehe Phys.SE-Hausaufgabenrichtlinie für Details.
Tut mir leid, ich muss daran denken, Hausaufgaben-Tags hinzuzufügen >_<

Jinawee · Answer 1

Beachten Sie, dass, wenn Sie einen Index des Kronecker-Deltas verringern, dieser zur Metrik wird:

$\eta_{\mu\nu}\delta^{\mu}_{\rho}=\delta_{\nu\rho}=\eta_{\nu\rho}$

Und in Ihrem letzten Schritt haben Sie einen falschen Index erhalten. Es sollte sein $\omega_{\rho\sigma}$ , nicht $\omega^{\rho}_{\sigma}$ .

Dann heben sich die metrischen Terme auf und Sie vernachlässigen cuadratische Terme.

Das sollte reichen, um es zu lösen.

Nijankowski · Answer 2

Da gilt die Lorentz-Transformation für beliebige $x\in M_{4}$ , es kann umgeschrieben werden als $\Lambda_{\rho}^{\mu}\eta_{\mu\nu}\Lambda_{\sigma}^{\nu}=\eta_{\rho\sigma}$ . Wenn wir die infinitesimale Form der Lorentz-Transformation in die vorherige Formel einsetzen, erhalten wir

(δ_{ρ}^{μ} + ω_{ρ}^{μ}) η_{μ v} (δ_{σ}^{v} + ω_{σ}^{v}) + Ö (ω^{2}) = η_{ρ σ}

$(\delta_{\rho}^{\mu}+\omega_{\rho}^{\mu})\eta_{\mu\nu}(\delta_{\sigma}^{\nu}+\omega_{\sigma}^{\nu})+o(\omega^{2})=\eta_{\rho\sigma}$

nach Ausbau

η_{ρ σ} + ω_{ρ}^{μ} η_{μ v} δ_{σ}^{v} + ω_{σ}^{v} η_{μ v} δ_{ρ}^{μ} + Ö (ω^{2}) = η_{ρ σ}

$\eta_{\rho\sigma}+\omega_{\rho}^{\mu}\eta_{\mu\nu}\delta_{\sigma}^{\nu}+\omega_{\sigma}^{\nu}\eta_{\mu\nu}\delta_{\rho}^{\mu}+o(\omega^2)=\eta_{\rho\sigma}$

und daran können wir das erkennen

ω_{ρ σ} + ω_{σ ρ} = 0 \Rightarrow ω_{ρ σ} = - ω_{σ ρ}

$\omega_{\rho\sigma}+\omega_{\sigma\rho}=0\Rightarrow\omega_{\rho\sigma}=-\omega_{\sigma\rho}$

Die unendlich kleine Lorentz-Transformation ist antisymmetrisch

Benutzer82235

jdm

QMechaniker

Benutzer82235

QMechaniker

Antworten (2)

Jinawee

Nijankowski

Wie konstruiert man Generatoren und Lie Algebra für die Lorentz-Gruppe?

Wie würde ich Λ=e−iωμνJμν/2Λ=e−iωμνJμν/2\Lambda=e^{-i\omega_{\mu\nu}J^{\mu\nu}/2} mit der Lorentz-Boost-Matrix in Beziehung setzen?

Infinitesimaler Generatorfluss von Lorentz-Transformationen in der Raumzeit

Wigner-Rotation

Verzweigungsregeln für SU(3)SU(3)SU(3)

Gibt es einen allgemeinen Satz, der besagt, warum die Exponentialkarte der eingeschränkten Lorentz-Gruppe surjektiv ist?

Ist Y:(t,x,y,z)→(t,x,−y,z)Y:(t,x,y,z)→(t,x,−y,z)Y: (t, x,y,z)\to(t,x,-y,z) eine Lorentz-Transformation?

Unterschied zwischen Lorentz-Gruppe und Poincare-Gruppe

Lorentzgruppengeneratoren und ihre Dimensionalität

Integrieren von Elementen einer Lie-Gruppe bezüglich Parametern der entsprechenden Lie-Algebra