Lorentzgruppengeneratoren und ihre Dimensionalität

Ich bin mir nicht sicher über die Generatoren der Lorentz-Gruppe und ihre Dimensionalität.

Ich glaube, dass jede Lorentz-Transformation als Produkt einer richtigen, orthochronen Lorentz-Transformation mit einem Element von geschrieben werden kann { 1 , P , T , P T } Wo P ist Rauminversion und T ist Zeitumkehr. Die eigentliche, orthochrone Lorentzgruppe hat 6 Erzeuger, also mit { 1 , P , T , P T } Es scheint, als bräuchte man 7 Informationen, um eine allgemeine Lorentz-Transformation zu beschreiben. Warum hat die Gruppe dann nur sechs Dimensionen, dh nur die Anzahl der Erzeuger zählt dazu?

Welche Bedeutung hat auch die Tatsache, dass die anderen drei Komponenten nicht direkt aus diesen Generatoren hergestellt werden können (weil sie nicht mit der Identität verbunden sind), sondern eine zusätzliche benötigen P , T , oder P T ? Bedeutet dies, dass sie nicht dieselbe Lie-Algebra haben?

Nein, die richtige orthochrone Lorentz-Gruppe und die vollständige Lorentz-Gruppe haben dieselbe Lie-Algebra
Es gibt keine Generatoren für diskrete Gruppen. Die Definition erfolgt nur für Lie-Gruppen, also lokal homöomorphe Mannigfaltigkeiten R N .
@DanielC obwohl (vielleicht verwirrend) diskrete Gruppen ein anderes Konzept haben, das als Generator bezeichnet wird. In diesem Sinne die Gruppe 1 , P , T , P T ist isomorph zu Z × Z und hat zwei "Generatoren". Ich glaube nicht, dass es eine offensichtliche Verbindung gibt, und Sie würden niemals über beide Konzepte gleichzeitig sprechen wollen, afaik.

Antworten (1)

Die Lorentz-Gruppe besteht aus vier getrennten Teilen. Jeder dieser Teile hatte sechs Dimensionen. Der Grund, warum Sie zusätzlich zu den Generatoren P und T benötigen, um zu jedem Teil der Lorentz-Gruppe zu gelangen, ist, dass Sie sich nicht auf einem kontinuierlichen Pfad zwischen einem der vier getrennten Teile bewegen können. Wenn Sie etwas schlampige Physikermathematik verzeihen, stellen die Generatoren "infinitesimale" Gruppenelemente nahe 1 dar. Sie können einen kontinuierlichen Pfad von 1 weg erstellen, indem Sie eine Reihe von ihnen aneinanderreihen. Aber Sie können nicht zu einem anderen Teil der Gruppe hinüberspringen.

Die Tatsache, dass es mehrere Teile gibt, bedeutet nicht, dass es eine zusätzliche Dimension im normalen Sinne gibt. Ich kann mich nicht entlang der P-Richtung bewegen. Entweder bin ich in P oder nicht.

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