Eine Frage zur Lorentzgruppe und eigentlichen, orthochronen Transformationen

Question

Eine Frage zur Lorentzgruppe und eigentlichen, orthochronen Transformationen

Parität
Physik
Gruppentheorie
Lorentz-Symmetrie
Spezielle Relativität
Zeitumkehr-Symmetrie

Benutzer35305

Warum nur die Untergruppe der orthochronen und echten Lorentz-Transformationen (also die gleichzeitig befriedigenden $\Lambda_{\;0}^{0}> 0$ Und $\text{det}\,\Lambda =1$ ) gelten als physikalisch realisierbare Transformationen?

Liegt es einfach daran, dass aufgrund der Lorentz-Symmetrie alle Lorentz-Transformationen orthochron sein müssen, denn wenn dies nicht der Fall wäre, könnte man zwischen zwei verschiedenen Trägheitsrahmen unterscheiden (die Zeit würde in einem Rahmen relativ zum anderen im entgegengesetzten Sinne verlaufen)?

Da alle orthochronen Lorentz-Transformationen stetig mit der Identität verbunden sind, müssen also unter der Annahme, dass obige Aussage wahr ist, auch die physikalisch realisierbaren Lorentz-Transformationen eigentlich sein , da uneigentliche , orthochrone Lorentz-Transformationen nicht stetig mit der Identität verbunden werden können.

QuantumBrick

lim_{ϵ \to 0} 1 + ϵ = 1

$\lim_{\epsilon \to 0} 1+\epsilon = 1$ , während

lim_{ϵ \to 0} - 1 + ϵ \neq 1

$\lim_{\epsilon \to 0} -1+\epsilon \neq 1$ . So sind sie ständig mit der Identität verbunden.

Benutzer35305

@QuantumBrick ist

ϵ

$\epsilon$ eine infinitesimale Änderung der Zeitkoordinate? Ist auch die Begründung, die ich dafür gegeben habe, warum wir nur richtige, orthochrone Lorentz-Transformationen betrachten, korrekt?

QuantumBrick

ϵ

$\epsilon$ ist genau das, was du gesagt hast. Die gegebene Antwort verdeutlicht, warum eigentliche orthochrone Transformationen nicht die einzigen physikalisch interessanten sind.

QMechaniker

Hallo user35305: Ich habe deine letzte Teilfrage entfernt, vgl. diesen Meta-Beitrag.

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Eine Frage zur Lorentzgruppe und eigentlichen, orthochronen Transformationen

$\lim_{\epsilon \to 0} 1+\epsilon = 1$ , während $\lim_{\epsilon \to 0} -1+\epsilon \neq 1$ . So sind sie ständig mit der Identität verbunden.
@QuantumBrick ist $\epsilon$ eine infinitesimale Änderung der Zeitkoordinate? Ist auch die Begründung, die ich dafür gegeben habe, warum wir nur richtige, orthochrone Lorentz-Transformationen betrachten, korrekt?
$\epsilon$ ist genau das, was du gesagt hast. Die gegebene Antwort verdeutlicht, warum eigentliche orthochrone Transformationen nicht die einzigen physikalisch interessanten sind.
Hallo user35305: Ich habe deine letzte Teilfrage entfernt, vgl. diesen Meta-Beitrag.

Neuneck · Answer 1

Die vollständige Lorentz-Gruppe weist mehrere Zweige auf, zwischen denen keine kontinuierlichen Transformationen interpolieren können. Sie sind jedoch durch diskrete Transformationen verwandt. Die Beschränkung auf eigentliche orthochrone Lorentz-Transformationen stellt sicher, dass die Transformationen, mit denen wir uns befassen, ein kontinuierlicher Zweig einer Lie-Gruppe sind, für die die Darstellungstheorie einfacher ist.

Beachten Sie, dass die zur Einschränkung der Lorentz-Gruppe verwendeten Transformationen nicht immer im System realisiert werden. Im Standardmodell werden beispielsweise Zeitumkehr und Parität verletzt. Aber wenn man diese Feinheiten im Hinterkopf behält, ist die Einschränkung wlog (womit ich meine, dass die Objekte in unserer Theorie (nicht unbedingt triviale) Darstellungen unter T und P sein müssen).

Gibt es eine physikalische Motivation dafür, warum wir uns an die richtigen orthochronen Lorentz-Transformationen halten?
@ user35303 Ja. Dies ist der Brach, der die Identität enthält, und kann daher als Lie-Gruppe behandelt werden.
Ah ok, also ist es so, dass wir, wenn wir eine kontinuierliche Symmetrie wollen, die mit der Identität verbunden ist (wie der triviale Fall, in dem die Lorentz-Transformation auf dasselbe Inertialsystem zurückgeht, enthalten sind) und daher eine Lie-Gruppe, müssen wir die Verzweigung berücksichtigen der ständig mit der Identität verbunden ist, also dem eigentlichen Orthochronus-Zweig?!

dpravos · Answer 2

Ich würde nicht sagen, dass orthochrone echte Lorentz-Transformationen die einzigen physikalisch realisierbaren sind. Der Rest der Komponenten der Lorentz-Gruppe kann über Parität oder/und Zeitumkehr erreicht werden, die auf der orthochronen eigentlichen Lorentz-Untergruppe arbeiten, und wir wissen, dass diese Symmetrien in unserem Universum existieren.

Eine andere Sache ist, dass wir aufgrund dieser Beziehung zwischen den verschiedenen Komponenten der Lorentz-Gruppe das Studium der Lorentz-Gruppe auf die eigentliche orthochrone Lorentz-Untergruppe beschränken können.

Warum beschränkt sich die Analyse so oft auf die eigentliche Orthochronus-Untergruppe?
Das sage ich im letzten Absatz. Die verschiedenen Komponenten der Lorentzgruppe sind bis auf eine diskrete Transformation gleich ( $P$ oder $T$ ), also muss man nur einen von ihnen studieren, um die Eigenschaften der anderen zu kennen.
Ah okay. Der Grund, warum ich wie in meinem OP argumentiert habe, warum man richtige orthochrone Lorentz-Transformationen in Betracht zieht, war, dies zu lesen: books.google.co.uk/… . Es scheint eine vernünftige körperliche Anforderung aus Beobachtungen zu sein ...

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